Lineare Algebra I

Prof. Dr. Falko Lorenz lehrt an der Universität Münster Mathematik und ist auswärtiges Mitglied der Akademie gemeinnütziger Wissenschaften zu Erfurt.

1 Lineare Gleichungssysteme
1 Zwei lineare Gleichungen in zwei Unbekannten
2 Grundbegriffe für lineare Gleichungssysteme
3 Elementare Umformungen linearer Gleichungssysteme und elementare Zeilenumformungen von Matrizen
4 Rechenverfahren zur Lösung homogener und inhomogener Gleichungssysteme
5 Zwei Problemstellungen2 Vektorräume
1 Der Begriff eines Körpers
2 Definition eines Vektorraumes; Begriff des Teilraumes eines Vektorraumes
3 Linearkombinationen von Vektoren; Begriff der Basis eines Vektorraumes
4 Über die Existenz von Basen in beliebigen Vektorräumen; lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit
5 Der Rang eines endlichen Systems von Vektoren; Rangbestimmung mittels elementarer Umformungen
6 Dimension von Vektorräumen; der Basisergänzungssatz
7 Elementare Umformungen und der Rang von Matrizen (Lösung von Problem 1 aus Kapitel 1)
8 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme (Lösung von Problem 2 aus Kapitel 1)3 Lineare Abbildungen
1 Der Begriff einer linearen Abbildung; Homomorphismus und Isomorphismus von Vektorräumen
2 Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen
3 Vektorräume linearer Abbildungen
4 Lineare Abbildungen und Matrizen
5 Isomorphismen von Vektorräumen und Basiswechsel
6 Die lineare Gruppe GL(V) eines Vektorraumes4 Determinanten
1 Der Begriff einer Determinantenfunktion
2 Entwicklung nach der letzten Zeile und der Existenzbeweis für Determinantenfunktionen
3 Grundeigenschaften der Determinante
4 Zur Berechnung von Determinanten (Beispiele)
5 Die Darstellung der Determinante einer Matrix nach Leibniz
6 Alternierende Multilinearformen
7 Determinante und Spur von Endomorphismen endlichdimensionaler Vektorräume
8 Anhang: Determinanten über kommutativen Ringen5 Eigenvektoren und das charakteristische Polynom eines Endomorphismus
1 Polynome
2 Der Begriff des Eigenwertes bei Endomorphismen von Vektorräumen
3 Diagonalisierbare Endomorphismen
4 Der Satz von Cayley-Hamilton und der Begriff des Minimalpolynoms
5 Trigonalisierbare Endomorphismen