Keine Probleme mit Inversen Problemen - Andreas Rieder

Keine Probleme mit Inversen Problemen

Eine Einführung in ihre stabile Lösung

(Autor)

Buch | Softcover
XIV, 300 Seiten
2003 | 2003
Vieweg & Teubner (Verlag)
978-3-528-03198-5 (ISBN)
49,99 inkl. MwSt
Die Mathematik hinter der Computer-Tomographie
Inverse Probleme treten in der heutigen Hochtechnologie häufig auf. Immer wenn man von einer beobachteten (gemessenen) WIRKUNG auf deren URSACHE schließen möchte, liegt ein inverses Problem vor. So wird in der Computer-Tomographie die Abminderung von Röntgenstrahlen gemessen beim Durchgang durch ein Objekt (z.B. menschlicher Körper). Die Ursache der Abminderung ist die Dichte des Objekts. Ein anderes Beispiel stellt die Ultraschall-Tomographie dar: hier wird die Streuung von Schallwellen an einem Objekt beobachtet, hervorgerufen durch die Form des Objekts, auf die man schließen möchte. Aus mathematischer Sicht bestehen inverse Probleme darin, Operatorgleichungen zu lösen. Diese Gleichungen sind typischerweise schlecht gestellt, d.h. kleine Änderungen (z.B. Messfehler) in den Wirkungen ziehen große Änderungen in den zugehörigen Ursachen nach sich. Diese Fehlerverstärkung muss im Lösungsprozess durch geeignete Maßnahmen gedämpft werden: inverse Probleme müssen regularisiert (stabilisiert) werden. Das vorliegende Lehrbuch führt umfassend ein in die mathematischen Grundlagen zur stabilen Lösung inverser Probleme, zielt dabei aber auch auf konkrete Anwendungen ab. Es eignet sich als Grundlage für eine vierstündige Vorlesung und zum Selbststudium, das durch zahlreiche Übungen unterstützt wird.

Prof. Dr. Andreas Rieder lehrt und forscht an den Instituten für Praktische Mathematik und für Wissenschaftliches Rechnen und Mathematische Modellbildung der Universität Karlsruhe (TH).

1 Einführung: Was ist ein inverses Problem?.- 1.1 Computer-Tomographie.- 1.2 Impedanz-Tomographie.- 1.3 Ein inverses Streuproblem: Ultraschall-Tomographie.- 1.4 Inverse Wärmeleitungsprobleme.- 1.5 Abstrakte Formulierung inverser Probleme.- 1.6 Übungsaufgaben.- 2 Schlecht gestellte Operatorgleichungen.- 2.1 Verallgemeinerte Inverse (Moore-Penrose-Inverse).- 2.2 Kompakte Operatoren.- 2.3 Singulärwertzerlegung kompakter Operatoren.- 2.4 Ein Funktionalkalkül für kompakte Operatoren.- 2.5 Ein weiteres Beispiel zur SWZ: Die Radon-Transformation.- 2.6 Übungsaufgaben.- 3 Regularisierung linearer Probleme und Optimalität.- 3.1 Vorbetrachtungen.- 3.2 Klassifizierung von Regularisierungsverfahren.- 3.3 Eine allgemeine Theorie linearer Regularisierungen.- 3.4 Das Diskrepanzprinzip.- 3.5 Ein verallgemeinertes Diskrepanzprinzip.- 3.6 Heuristische ("?-freie") Parameterstrategien.- 3.7 Übungsaufgaben.- 4 Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 4.1 Verallgemeinerte Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 4.2 Iterierte Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 4.3 Übungsaufgaben.- 5 Iterative Regularisierungen.- 5.1 Landweber-Verfahren.- 5.2 Semi-iterative Verfahren.- 5.3 Das Verfahren der konjugierten Gradienten (cg-Verfahren).- 5.4 Übungsaufgaben.- 6 Diskretisierung und Regularisierung.- 6.1 Projektionsverfahren.- 6.2 Regularisierung von Projektionsverfahren.- 6.3 Semi-diskrete Probleme: Die Approximative Inverse.- 6.4 Übungsaufgaben.- 7 Nichtlineare schlecht gestellte Probleme.- 7.1 Lokale Schlechtgestelltheit.- 7.2 Fréchet-Differenzierbarkeit.- 7.3 Charakterisierung nichtlinearer schlecht gestellter Probleme.- 7.4 Nichtlineare Tikhonov-Phillips-Regularisierung.- 7.5 Iterative Methoden vom Newton-Typ.- 7.6 Übungsaufgaben.- 8 Anhang: Grundbegriffe aus der Funktionalanalysis.- 8.1Normierte Räume und lineare Abbildungen.- 8.2 Drei Hauptsätze der Funktionalanalysis.- 8.3 Innenprodukträume.

Erscheint lt. Verlag 30.10.2003
Zusatzinfo XIV, 300 S. 196 Abb.
Verlagsort Wiesbaden
Sprache deutsch
Maße 170 x 240 mm
Gewicht 545 g
Themenwelt Mathematik / Informatik Informatik Theorie / Studium
Mathematik / Informatik Mathematik Analysis
Mathematik / Informatik Mathematik Computerprogramme / Computeralgebra
Mathematik / Informatik Mathematik Wahrscheinlichkeit / Kombinatorik
Schlagworte Integralgleichungen • Inverse Probleme • Körper • Operatorgleichungen • Regularisierung • schlecht gestellte Probleme
ISBN-10 3-528-03198-0 / 3528031980
ISBN-13 978-3-528-03198-5 / 9783528031985
Zustand Neuware
Haben Sie eine Frage zum Produkt?
Mehr entdecken
aus dem Bereich