Elementarmathematik vom Höheren Standpunkte Aus

Erster Teil: Von den Funktionen reeller Veränderlicher und ihrer Darstellung im rechtwinkligen Koordinatensystem..- I. Erläuterungen über die einzelne unabhängige Variable x.- Empirische und abstrakte Genauigkeit. Der moderne Zahlbegriff.- Präzisions- und Approximationsmathematik, auch in der reinen Geometrie.- Anschauung und Denken, erläutert an verschiedenen Teilen der Geometrie.- Erläuterung an zwei einfachen Sätzen über Punktmengen.- II. Funktionen y = f (x) einer Veränderlichen x.- Die abstrakte und die empirische Festlegung einer Funktion (Idee des Funktionsstreifens).- Von der Leistungsfähigkeit der räumlichen Anschauung.- Von der Genauigkeit der Naturgesetze (mit Exkurs über die verschiedenen Ideen betr. die Konstitution der Materie).- Attribute der empirischen Kurve: Zusammenhang, Richtung, Krümmung.- Cauchys Definition der stetigen Funktion. Wie weit reicht die Analogie mit der empirischen Kurve ?.- Die Integrierbarkeit der stetigen Funktion.- Der Satz von der Existenz des größten bzw. kleinsten Wertes.- Die vier Derivierten.- Weierstraß’ nichtdifferenzierbare Funktion; ihr Allgemeinverlauf.- Ihre Nichtdifferenzierbarkeit.- Die „vernünftigen“Funktionen.- III. Von der angenäherten Darstellung der Funktionen..- Approximation empirischer Kurven durch vernünftige Funktionen.- Annäherung vernünftiger Funktionen durch einfache analytische Ausdrücke.- Lagranges Interpolationsformel.- Der Taylorsche Satz und die Taylorsche Reihe.- Annäherung des Integrals und des Differentialquotienten durch das Lagrangesche Polynom.- Von den analytischen Funktionen und ihrer Verwendung für die Naturerklärung.- Interpolation durch eine endüche trigonometrische Reihe.- IV. Nähere Ausführungen zur trigonometrischen Darstellung der Funktionen..- Fehlerabschätzung bei der Darstellung empirischer Funktionen.- Trigono metrische Interpolation gemäß der Methode der kleinsten Quadrate.- Der harmonische Analysator.- Beispiele trigonometrischer Reihen.- Tschebyscheffs Arbeiten über Interpolation.- V. Funktionen zweier Veränderlicher..- Stetigkeit.- Vertauschbarkeit der Differentiationsfolge. Praktisches Beispiel einer Funktion, für welche (math).- Approximative Darstellung von Funktionen der Kugelfläche durch Reihen nach Kugelfunktionen.- Die Werteverteilung der Kugelfunktionen über die Kugel hin.- Fehlerschätzung bei der abbrechenden Kugelfunktionenreihe.- Zweiter Teil: Freie Geometrie ebener Kurven..- I. Präzisionstheoretische Betrachtungen zur ebenen Geometrie..- Sätze über Punktmengen.- Punktmengen, die durch Inversion an zwei oder mehr sich nicht schneidenden Kreisen entstehen.- Eigenschaften dieser Mengen.- Begriff des 2-dimensionalen Kontinuums. Allgemeiner Kurvenbegriff.- Von der Peano-Kurve, die ein ganzes Quadrat überdeckt.- Engerer Kurvenbegriff: die Jordan-Kurve.- Weitere Einengung des Kurvenbegriffs: die reguläre Kurve.- Approximation anschaulicher Kurven durch reguläre Idealkurven.- Vorstellbarkeit der Idealkurven.- Spezialisierung der Idealkurven: Analytische, algebraische Kurven. Geometrische Erzeugung der letzteren nach Graßmann.- Beherrschung des Empirischen durch Idealgebilde; Perrys Standpunkt.- II. Fortsetzung der präzisionstheoretischen Betrachtungen zur ebenen Geometrie..- Iterierte Inversion an zwei sich berührenden Kreisen.- Dasselbe an drei sich berührenden Kreisen (,,Modulfigur“).- Der Normalfall von vier sich in zyklischer Reihenfolge berührenden Kreisen.- Der allgemeine Fall von vier sich in zyklischer Reihenfolge berührenden Kreisen.- Eigenschaften der hierbei entstehenden nichtanalytischen Kurven.- Voraussetzung dieser ganzen Entwickelungen. Weitere Idealisierung bei Veronese.- III. Übergang zur praktischen Geometrie: a) Geodäsie..- Ungenauigkeit aller praktischen Messungen. Ausführungen beim Snelliusschen Problem.- Festlegung des Genauigkeitsmaßes durch iterierte Messungen. Prinzipielle Auffassung der Methode der kleinsten Quadrate.- Approximatives Rechnen, erläutert am Legendreschen Satze für kleine sphärische Dreiecke.- Die geodätische Bedeutung der kürzesten Linie auf dem Erdsphäroid (nebst Postulaten betr. die Theorie der Differentialgleichungen) l.- Von dem Geoid und seiner praktischen Festlegung.- IV. Fortsetzung der praktischen Geometrie: b) Zeichnende Geometrie..- Postulierung einer Fehlertheorie auch für die zeichnende Geometrie, erläutert an der zeichnerischen Wiedergabe des Pascalschen Satzes.- Von der Möglichkeit, aus der empirischen Gestalt auf Eigenschaften der Idealkurve zu schließen.- Anwendung des Verfahrens insbesondere auf algebraische Kurven. Algebraische Vorkenntnisse, die wir voraussetzen.- Aufstellung des zu beweisenden Theorems: w? + 2 t? = n (n — 2).- Prinzipien des zu führenden Kontinuitätsbeweises.- Übergang der Cn durch eine Form mit Doppelpunkt.- Beispiele von Kurven, bei denen das Theorem stimmt, für gerades n.- Desgleichen für ungerades n.- Erläuterung des Kontinuitätsbeweises an Beispielen. Durchführung des Beweises.- Dritter Teil: Von der Versinnlichung idealer Gebilde durch Zeichnungen und Modelle..- Gestaltliche Verhältnisse bei singularitätenfreien Raumkurven, insbesondere C3 (Projektionen der Kurve und ebene Schnitte ihrer Tangentenfläche).- Die sieben Arten singulärer Punkte von Raumkurven.- Allgemeines über die Gestalt singularitätenfreier Flächen.- Von den Doppelpunkten der F3, insbesondere ihren biplanaren und uniplanaren Punkten.- Von dem gestaltlichen Verlauf der F3 überhaupt.- Appell zu immer erneuter Korrektur des traditionellen Wissenschaftsbetriebes durch Naturbeobachtung.- Namenverzeichnis.