Prüfungstrainer Analysis

Dr. Rolf Busam ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Mathematischen Institut der Universität Heidelberg, hält dort seit langen Jahren die Analysis-Vorlesungen und ist mitverantwortlich für die Lehrerausbildung. Thomas Epp hat an der HU Berlin Mathematik und Philosophie studiert.

1 Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen 1.1 Axiomatische Einführung der reellen Zahlen 1.2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 1.3 Die ganzen und rationalen Zahlen 1.4 Der Körper der komplexen Zahlen 1.5 Die Standardvektorräume Rn und Cn 1.6 Einige wichtige Ungleichungen 2 Folgen reeller und komplexer Zahlen 2.1 Definitionen, Beispiele, grundlegende Feststellungen 2.2 Permanenzeigenschaften (Rechenregeln) für konvergente Folgen 2.3 Prinzipien der Konvergenztheorie 3 (Unendliche) Reihen 3.1 Definitionen und erste Beispiele 3.2 Konvergenzkriterien für reelle Reihen 3.3 Reihen mit beliebigen Gliedern - absolute Konvergenz 3.4 Umordnung von Reihen, Reihenprodukte 3.5 Elementares über Potenzreihen 3.6 Der große Umordnungssatz 4 Stetigkeit, Grenzwerte von Funktionen 4.1 Grundbegriffe 4.2 Stetigkeit 4.3 Grenzwerte bei Funktionen 5 Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Potenzreihen 5.1 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz 5.2 Potenzreihen 6 Elementare (transzendente) Funktionen 6.1 Die komplexe Exponentialfunktion 6.2 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 6.3 Natürlicher Loagrithmus und allgemeine Potenzen 6.4 Die Umkehrfunktionen der der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen 7 Grundlagen der Integral- und Differenzialrechnung 7.1 Das Integral für Treppenfunktionen und Regelfunktionen 7.2 Grundlagen der Differenzialrechnung 7.3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 7.4 Integrationstechniken 8 Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung 8.1 Taylor'sche Formel und Taylorreihen 8.2 Fixpunktiteration und Newton-Verfahren 8.3 Interpolation und einfache Quadraturformeln 8.4 Uneigentliche Integrale, T-Funktion 8.5 Bernoulli'sche Polynome und -Zahlen, Euler'sche Summenformel 8.6 Fourierreihen (Einführung in die Theorie) 8.7 Differenzierbare Kurven und ihre Geometrie 9 Metrische Räume und ihre Topologie 9.1 Grundbegriffe 9.2 Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit 9.3 Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz, stetige Fortsetzbarkeit, Grenzwerte 9.4 Kompaktheit, stetige Funktionen auf kompakten Räumen 9.5 Wege, Zusammenhangsbegriffe 9.6 Der Satz von Stone-Weierstraß 10 Differenzialrechnung in mehreren Variablen 10.1 Partielle Ableitungen 10.2 Höhere partielle Ableitungen, Satz von Schwarz 10.3 (Totale) Differenzierbarkeit, Kettenregel 10.4 Differenzierbarkeit in C, Cauchy-Riemann'sche Differenzialgleichungen 10.5 Lokale Extremwerte, Taylor'sche Formel. 10.6 Der lokale Umkehrsatz 10.7 Der Satz über implizite Funktionen 10.8 Untermannigfaltigkeiten im Rn 10.9 Extrema unter Nebenbedingungen, Lagrange'sche Multiplikatoren 11 Integralrechnung in mehreren Variablen 11.1 Parameterabhängige und n-fache Integrale 11.2 Das Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger 11.3 Fortsetzung des Integrals auf halbstetige Funktionen 11.4 Berechnung von Volumina einiger kompakter Mengen 11.5 Die Lebesgue-integrierbaren Funktionen 11.6 Die Grenzwertsätze von Beppo Levi und Lebesgue 11.7 Nullmengen und fast überall geltende Eigenschaften 11.8 Der Banachraum L1 und der Hilbertraum L2 11.9 Parameterabhängige Integrale, Fouriertransformierte 11.10 Die Transformationsformel für Lebesgue-integrierbare Funktionen 11.11 Integration über Untermannigfaltigkeiten im Rn 12 Vektorfelder, Kurvenintegrale, Integralsätze 12.1 Vektorfelder, Kurvenintegrale, 1-Formen 12.2 Die Integralsätze von Gauß und Stokes Literaturverzeichnis Symbolverzeichnis Namen- und Sachverzeichnis