Algebra

PD Dr. Christian Karpfinger lehrt an der Technischen Universität München; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern. Prof. Dr. Kurt Meyberg war Professor an der Technischen Universität München und ist als Autor verschiedener Lehrbücher bekannt.

0 Vorbemerkungen.- 0.1 Womit befasst sich die Algebra?- 0.2 Gruppen, Ringe, Körper.- 1 Halbgruppen.- 1.1 Definitionen. 1.2 Unterhalbgruppen. 1.3 Invertierbare Elemente. 1.4 Potenzen und Vielfache. 1.5 Homomorphismen, Isomorphismen. 1.6 Direkte Produkte.- 2 Gruppen.- 2.1 Eigenschaften und Beispiele von Gruppen. 2.2 Untergruppen. 2.3 Homomorphismen.- 3 Untergruppen.- 3.1 Erzeugendensysteme. Elementordnungen. 3.2 Nebenklassen. 3.3 Der Satz von Lagrange.- 4 Normalteiler und Faktorgruppen.- 4.1 Normalteiler. 4.2 Normalisatoren. 4.3 Faktorgruppen. 4.4 Der Homomorphiesatz. 4.5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe.- 5 Zyklische Gruppen.- 5.1 Der Untergruppenverband zyklischer Gruppen. 5.2 Klassifikation der zyklischen Gruppen. 5.3 Anwendungen in der Zahlentheorie. 5.4 Die Automorphismengruppen.- 6 Direkte Produkte.- 6.1 Äußere direkte Produkte. 6.2 Innere direkte Produkte. 6.3 Anwendung in der Zahlentheorie.- 7 Gruppenoperationen.- 7.1 Bahnen und Stabilisatoren von Gruppenoperationen. 7.2 Der Fixpunktsatz. 7.3 Die Klassengleichung.- 8 Die Sätze von Sylow.- 8.1 Der erste Satz von Sylow. 8.2 Der zweite Satz von Sylow. 8.3 Gruppen kleiner Ordnung.- 9 Symmetrische und alternierende Gruppen.- 9.1 Kanonische Zerlegung in Zyklen. 9.2 Alternierende Gruppen. 9.3 Einfache Gruppen.- 10 Isomorphiesätze.- 10.1 Der erste Isomorphiesatz. 10.2 Der Korrespondenzsatz. 10.3 Der zweite Isomorphiesatz. 10.4 Das Lemma von Zassenhaus.- 11 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen.- 11.1 Der Hauptsatz. 11.2 Die Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen. 11.3 Die zweite Version des Hauptsatzes.- 12 Auflösbare Gruppen.- 12.1 Normalreihen und Kompositionsreihen. 12.2 Kommutatorgruppen. 12.3 Auflösbare Gruppen. 12.4 Untergruppen, Faktorgruppen und Produkte auflösbarer Gruppen. 12.5 Klassen auflösbarer Gruppen.- 13 Grundbegriffe der Ringtheorie.- 13.1 Definition und Beispiele. 13.2 Teilringe. 13.3 Invertierbare Elemente. 13.4 Homomorphismen. 13.5 Integritätsbereiche. 13.6 Charakteristik eines Ringes mit 1. 13.7 Körper und Schiefkörper. 13.8 Quotientenkörper.- 14 Polynomringe.- 14.1 Motivation. 14.2 Halbgruppenringe. 14.3 Polynome in einer Unbestimmten. 14.4 Prime Restklassengruppen. 14.5 Polynome in mehreren Unbestimmten.- 15 Ideale.- 15.1 Definitionen und Beispiele. 15.2 Erzeugung von Idealen. 15.3 Einfache Ringe. 15.4 Idealoperationen. 15.5 Faktorringe. 15.6 Isomorphiesätze. 15.7 Primideale. 15.8 Maximale Ideale. 15.9 Chinesischer Restsatz.- 16 Teilbarkeit in Integritätsringen .- 16.1 Teilbarkeit. 16.2 Idealtheoretische Interpretation.- 17 Faktorielle Ringe.- 17.1 Kennzeichnungen faktorieller Ringe. 17.2 Der nicht-faktorielle Ring Z[-5].- 18 Hauptidealringe. Euklidische Ringe.- 18.1 Hauptidealringe. 18.2 Euklidische Ringe. 18.3 Der Ring Z[i] der ganzen Gauß’schen Zahlen.- 19 Zerlegbarkeit in Polynomringen und noethersche Ringe.- 19.1 Der Satz von Gauß. 19.2 Unzerlegbarkeit. 19.3 Noethersche Ringe.- 20 Grundlagen der Körpertheorie.- 20.1 Körpererweiterungen. 20.2 Ring- und Körperadjunktion. 20.3 Algebraische Elemente. Minimalpolynome.- 21 Einfache Körpererweiterungen.- 21.1 Die Struktur einfacher Körpererweiterungen. 21.2 Fortsetzung von Isomorphismen.- 22 Algebraische Körpererweiterungen.- 22.1 Eigenschaften algebraischer Körpererweiterungen. 22.2 Mächtigkeitsaussagen.- 23 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.- 23.1 Konstruierbarkeit. 23.2 Die drei klassischen Probleme.- 24 Transzendente Körpererweiterungen.- 24.1 Transzendenzbasen. 24.2 Der Transzendenzgrad.- 25 Algebraischer Abschluss. Zerfällungskörper.- 25.1 Der algebraische Abschluss eines Körpers. 25.2 Zerfällungskörper. 25.3 Normale Erweiterungen.- 26 Separable Körpererweiterungen.- 26.1 Ableitung. Mehrfache Wurzeln. 26.2 Separabilität. 26.3 Vollkommene Körper. 26.4 Der Satz vom primitiven Element. 26.5 Separable Hüllen.- 27 Endliche Körper.- 27.1 Existenz und Eindeutigkeit. 27.2 Der Verband der Teilkörper. 27.3 Automorphismen. 27.4 Der Satz von Wedderburn.- 28 Die Galoiskorrespondenz.- 28.1 K-Automorphismen. 28.2 Die allgemeine Galois-Korrespondenz. 28.3 Algebraische Galoiserweiterungen. 28.4 Hauptsatz der endlichen Galoistheorie. 28.5 Ergänzungen.- 29 Der Zwischenkörperverband einer Galoiserweiterung.- 29.1 Norm und Spur. 29.2 Hinweise zur Ermittlung von ... 29.3 Hinweise zur Ermittlung von ... 29.4 Beispiele. 29.5 Die Galoisgruppe eines Polynoms.- 30 Kreisteilungskörper.- 30.1 Einheitswurzeln. Kreisteilungskörper. 30.2 Kreisteilungspolynome. 30.3 Die Galoisgruppe von Kn/K. 30.4 Konstruktion regulärer Vielecke.- 31 Zyklische Körpererweiterungen.- 31.1 Kennzeichnung zyklischer Erweiterungen. 31.2 Lösungen der pythagoreischen Gleichung.- 32 Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale.- 32.1 Auflösbarkeit. 32.2 Das Auflösbarkeitskriterium. 32.3 Nicht auflösbare Polynome.- 33 Die allgemeine Gleichung.- 33.1 Symmetrische Funktionen. 33.2 Das allgemeine Polynom. 33.3 Die Diskriminante eines Polynoms. 33.4 Die allgemeine Gleichung vom Grad 3. 33.5 Die allgemeine Gleichung vom Grad 4.- A Transfinite Beweismethoden und Kardinalzahlen. A.1 Das Auswahlaxiom. A.2 Der Wohlordnungssatz. A.3 Das Zornsche Lemma. A.4 Kardinalzahlarithmetik.