Statistik für Naturwissenschaftler

Dr. Hans Walser lehrt an der Universität Basel und der ETH Zürich.

Vorwort 13
1 Beschreibende Statistik 15
1.1 Mittelwerte 15
1.1.1 Minimum der Abstande 15
1.1.2 Der Median 18
1.1.3 Quantile 18
1.1.4 Boxplot 19
1.1.5 Minimum der Quadrate der Abstande 23
1.1.6 Das arithmetische Mittel 24
1.1.7 Empirische Varianz und Standardabweichung 26
1.2 Präsentationen 28
1.3 Absolut und relativ 31
1.3.1 Beispiel: Wachstum einer Stadt 33
1.3.2 Beispiel: Altersverteilung 34
1.4 Skalen 37
1.4.1 Nominale Skala 37
1.4.2 Ordinale Skala 38
1.4.3 Intervallskala 38
1.4.4 Verhaltnisskala 39
1.5 Ergänzungen 40
1.5.1 Quantile 40
1.6 Lösung der Fragen 43
1.7 Zusammenfassung 50
2 Regressionsgerade und Korrelation 52
2.1 Die Regressionsgerade 52
2.1.1 Problemstellung 53
2.1.2 Berechnung der Regressionsgeraden 54
2.1.3 Relative Koordinaten 55
2.1.4 Empirische Varianz und Kovarianz 56
2.2 Korrelationsrechnung 57
2.2.1 Empirischer Korrelationskoeffizient 57
2.2.2 Eine geometrische Idee 57
2.2.3 Beispiel 59
2.2.4 Rangkorrelation 62
2.3 Ergänzungen 66
2.3.1 Der Name «Regressionsgerade» 66
2.3.2 Methode der kleinsten Quadrate 67
2.3.3 Korrelationskoeffizient nach Pearson 68
2.3.4 Korrelationskoeffizient nach Spearman 68
2.3.5 Vertauschung der Koordinaten? 69
2.3.6 Nichtlineare Trendlinien 72
2.3.7 Großvaters Lexikon 76
2.4 Lösung der Fragen 79
2.5 Zusammenfassung 85
3 Stochastische Unabhängigkeit 87
3.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit 87
3.1.1 Beispiel: Falscher Alarm 87
3.1.2 Beispiel: HIV-Test 90
3.2 Stochastische Unabhängigkeit 92
3.2.1 Beispiele: Drei verschiedene Krankheiten 92
3.2.2 Definition 96
3.3 Ergänzungen 97
3.3.1 Thomas Bayes 97
3.3.2 Beispiel: Feueralarm – meist viel Rauch um nichts 97
3.3.3 Beispiel: Tumor-Früherkennung 98
3.3.4 Beispiel: Eine vererbbare Krankheit 98
3.4 Lösung der Fragen 100
3.5 Zusammenfassung 105
4 Erwartungswert 106
4.1 Überlebenszeit 106
4.2 Zufallsgröße 107
4.2.1 Lohnt sich die Garantie? 107
4.2.2 Definition der Zufallsgröße 108
4.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung 113
4.3.1 Erwartungswert einer Zufallsgröße 113
4.3.2 Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße 114
4.4 Kombination von Zufallsgrößen 116
4.4.1 Linearkombination zweier Zufallsgrößen 116
4.4.2 Produkt zweier Zufallsgrößen 117
4.4.3 Zusammenstellung der Regeln 119
4.4.4 Standardabweichung und Standardfehler 123
4.5 Ergänzungen 124
4.5.1 Gewinnstrategie? 124
4.5.2 Das Spiel mit dem Risiko 127
4.5.3 Das ominöse n – 1 bei der Standardabweichung 130
4.6 Lösung der Fragen 132
4.7 Zusammenfassung 135
5 Binomialverteilung 136
5.1 Die Qual der Wahl: Binomialkoeffizienten 136
5.1.1 Ordnung muss sein 136
5.1.2 Auswahlen und Anordnen 137
5.1.3 Muss Ordnung sein? 138
5.2 Bernoulli-Ketten 141
5.2.1 Beispiel: Augenzahl fünf 142
5.3 Binomialverteilung 145
5.3.1 Grundformel 145
5.3.2 Summative Binomialverteilung 146
5.3.3 Erwartungswert und Varianz 148
5.4 Ergänzungen 150
5.4.1 Jacob Bernoulli 150
5.4.2 Trinomische Verteilung 151
5.4.3 Harmonisches Dreieck 152
5.5 Lösung der Fragen 154
5.6 Zusammenfassung 158
6 Normalverteilung 159
6.1 Approximation der Binomialverteilung 159
6.2 Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace 163
6.2.1 Etwas Analysis 164
6.2.2 Anwendung der Tabelle 165
6.2.3 Faustregeln 171
6.2.4 Große Zahlen 173
6.2.5 Der kontinuierliche Fall: Wahrscheinlichkeitsdichte 174
6.3 Ergänzungen 178
6.3.1 Menschen machen Mathematik 178
6.3.2 Die Frage der «Halb-Korrektur» 180
6.3.3 Manipulationen an Funktionen 181
6.3.4 Integral über die Normalverteilung 184
6.3.5 Zum Nachdenken 186
6.4 Lösung der Fragen 186
6.5 Zusammenfassung 190
7 Poisson-Verteilung 192
7.1 Seltene Ereignisse 192
7.2 Bedeutung von ? 194
7.3 Ergänzungen 197
7.3.1 Suizidhäufigkeit 197
7.3.2 Erwartungswert und Varianz 198
7.3.3 Vergleich mit Binomialverteilung 199
7.3.4 Binomialverteilung und Poisson-Verteilung 200
7.4 Lösung der Fragen 202
7.5 Zusammenfassung 207
8 Testen von Hypothesen 208
8.1 Wirkt das Medikament? 208
8.1.1 Fehlermöglichkeiten 210
8.1.2 Ist die Münze gefälscht? 213
8.2 Ergänzungen 218
8.2.1 John Arbuthnot 218
8.2.2 Spamfilter 219
8.2.3 Indirekter Beweis und statistische Signifikanz 220
8.3 Lösung der Fragen 220
8.4 Zusammenfassung 224
9 Die Studentsche t-Verteilung: Der Varianzenquotienten-Test 225
9.1 Mittelwert einer Stichprobe 225
9.1.1 Vertrauensintervall 225
9.2 Vergleich der Mittelwerte zweier Normalverteilungen 230
9.2.1 Unabhängige Stichproben 230
9.2.2 Gepaarte Stichproben 232
9.3 Der Varianzenquotienten-Test 234
9.4 Ergänzungen 237
9.4.1 Freiheitsgrade 237
9.4.2 William Sealy Gosset 238
9.5 Lösung der Fragen 238
9.6 Zusammenfassung 245
10 Der Wilcoxon-Mann-Whitney-Test 247
10.1 Ein Rangtest 247
10.2 Signifikanzschranken 251
10.3 Ergänzungen 253
10.3.1 Personen und Namen 253
10.3.2 Kontrollmöglichkeit 253
10.3.3 Ein merkwürdiges Beispiel 254
10.3.4 Symmetrie 254
10.3.5 Umkehrung der Rangierung 255
10.4 Lösung der Fragen 256
10.5 Zusammenfassung 260
11 Korrelations-Analyse 261
11.1 Korrelationskoeffizient von Pearson 261
11.1.1 Korrelieren die Blutdruckwerte von Partnern? 261
11.1.2 Bivariate Normalverteilung 263
11.1.3 Signifikanztest fur die Nullhypothese 263
11.2 Vorgehen nach Spearman 265
11.3 Lösung der Fragen 268
11.4 Zusammenfassung 274
12 Der Chi-Quadrat-Test 275
12.1 Vierfelder-Tafel 275
12.1.1 Beispiel 275
12.1.2 Allgemein 278
12.1.3 Gebrauch der Tabelle 279
12.1.4 Der exakte Test von Fisher 280
12.2 Mehr als vier Felder 282
12.3 Ergänzungen 284
12.3.1 Formelturnen 284
12.3.2 Prozente, Prozente, Prozente 286
12.3.3 Sonderfalle beim Chi-Quadrat-Test 287
12.4 Lösung der Fragen 288
12.5 Zusammenfassung 290
13 Vertrauensintervall 291
13.1 Beispiel 291
13.1.1 Wer sucht, der findet 291
13.1.2 Allgemein 295
13.2 Grobe Schätzung 296
13.3 Lösung der Fragen 297
13.4 Zusammenfassung 298
14 Tabellen 299
14.1 Fakultäten 299
14.2 Binomialkoeffizienten 300
14.3 Binomische Verteilung 301
14.3.1 Binomische Verteilung (ohne Summation) 302
14.3.2 Summierte binomische Verteilung 305
14.3.3 Summierte binomische Verteilung, p = q = 0.5 308
14.4 Normalverteilung 310
14.5 Studentsche t-Verteilung 312
14.5.1 Mittelwert einer Stichprobe: Vertrauensintervall 312
14.5.2 Vergleich der Mittelwerte zweier Normalverteilungen . 312
14.6 Schranken der F-Verteilung für das Signifikanzniveau 5 % 315
14.7 Wilcoxon-Mann-Whitney-Test: Kritische untere Schranken 321
14.7.1 Signifikanzniveau 2.5 %, einseitig.; Signifikanzniveau 5 %, zweiseitig 322
14.7.2 Signifikanzniveau 5 %, einseitig; Signifikanzniveau 10 %, zweiseitig 323
14.8 Korrelationsanalyse 324
14.8.1 Kritische Werte fur den Korrelationskoeffizienten nach Pearson 324
14.8.2 Kritische Werte fur den Korrelationskoeffizienten nach Spearman 325
14.9 Chi-Quadrat-Tabelle 326
Literatur 327
Register 328