Phänomenologische Rheologie

1 Einleitung.- 1.1 Definition und Zielsetzung der Rheologie.- 1.2 Gliederung der Rheologie.- 1.3 Struktur und Leitziele dieses Buches.- 2 Kinematische Grundlagen.- 2.1 Das Konzept des materiellen Kontinuums.- 2.2 Körper, Konfiguration, Bewegung.- 2.3 Verformungsgradient Jacobi-Determinante.- 2.4 Lokale und substantielle zeitliche Ableitungen lokaler Größen.- 2.5 Substantielle zeitliche Ableitungen integraler Größen.- 3 Dynamische und thermodynamische Grundlagen.- 3.1 Masse, Dichte, Kontinuitätsgleichung.- 3.2 Kräfte und Spannungen im Kontinuum.- 3.3 Impulsbilanz.- 3.4 Drehimpulsbilanz.- 3.5 Verformungsarbeit.- 3.6 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik.- 3.7 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik.- 3.8 Das zentrale Problem der Rheologie Grenzfälle des Stoffverhaltens.- 4 Verformungs- und Dehnungsmaße.- 4.1 Verformung und Drehung.- 4.2 Cauchy-Greenscher Verformungstensor.- 4.3 Greenscher Verformungstensor.- 4.4 Fingerscher und Piolascher Verformungstensor.- 4.5 Relative Verformungs- und Dehnungsmaße.- 4.6 Invarianten der Verformungs- und Dehnungstensoren.- 4.7 Polare Zerlegung Drehungs- und Streckungstensoren.- 4.8 Henckysches Dehnungsmaß.- 4.9 Infinitesimales Dehnungsmaß.- 4.10 Spezielle Verformungen.- 4.10.1 Homogene Verformungen.- 4.10.2 Starre Bewegungen.- 4.10.3 Isotrope und isochore Verformungen.- 4.10.4 Drehungsfreie Verformungen.- 4.10.5 Einfache Scherung.- 4.11 Exkurs: Kompatibilitätsbedingungen.- 5 Verformungskinematik.- 5.1 Objektiv äquivalente Bewegungen.- 5.2 Verformungs- und Drehgeschwindigkeitstensor.- 5.3 Homogene stationäre Strömungsfelder.- 5.3.1 Verformungs- und Dehnungsmaße.- 5.3.2 Strömungsfelder mit nilpotenten und nicht-nilpotenten Geschwindigkeitsgradienten.- 5.3.3 Exkurs: Klassifizierung der stationären Strömungen.- 5.3.4 Exkurs: Der Einfluß von Verformungsgeschwindigkeits- und Drehgeschwindigkeitsanteil auf die Strömungsform.- 5.3.5 Exkurs: Die Klasse der ebenen stationären Strömungen.- 5.4 Homogene Strömungen mit konstanter Verformungsgeschichte.- 5.5 Exkurs: Kompatibilitätsbedingungen für inhomogene Strömungsfelder.- 5.6 Kinematische Tensoren.- 5.6.1 Verformungsgeschichte und kinematische Tensoren.- 5.6.2 Geschwindigkeitsgradienten höherer Ordnung.- 5.6.3 Rivlin-Ericksen-Tensoren Kovariante kinematische Tensoren.- 5.6.4 Kontravariante und korotatorische kinematische Tensoren.- 5.6.5 Kinematische Tensoren für Strömungen mit konstanter Verformungsgeschichte.- 5.7 Konvektive und korotatorische Ableitungen von Tensoren.- 5.8 Exkurs: Mitgeführte und mitrotierende Koordinatensysteme.- 5.8.1 Mitgeführte Koordinatensysteme.- 5.8.2 Differentiation von Vektorkomponenten.- 5.8.3 Differentiation von Tensorkomponenten.- 5.8.4 Differentiation von relativen Tensorkomponenten.- 5.8.5 Mitrotierende Koordinatensysteme.- 5.8.6 Regeln für das Rechnen mit konvektiven und korotatorischen Ableitungen.- 6 Rheologische Stoffgesetze.- 6.1 Phänomenologischer und struktureller Zugang.- 6.2 Bestimmtheitsprinzipien.- 6.3 Invarianzprinzipien.- 6.4 Spezielle Stoffklassen.- 6.4.1 Ideale Stoffe.- 6.4.2 Einfache Stoffe.- 6.4.3 Homogene Stoffe und homogene Verformungen.- 6.4.4 Isotrope und anisotrope Stoffe.- 6.4.5 Flüssigkeiten.- 6.4.6 Stoffe, die ein thermodynamisches Gleichgewicht besitzen.- 6.4.7 Stoffe mit inneren Zwangsbedingungen.- 6.4.7.1 Dichtebeständige Stoffe.- 6.4.7.2 Unstreckbare Stoffe.- 6.4.7.3 Starre Körper.- 7 Elastische Stoffe.- 7.1 Der elastische Körper.- 7.1.1 Elastizität nach Cauchy.- 7.1.2 Der isotrope elastische Körper.- 7.1.3 Isotrop-lineare und infinitesimale Elastizität.- 7.1.4 Der anisotrope elastische Körper.- 7.2 Der hyperelastische Körper.- 7.3 Spezielle homogene Verformungen isotroper elastischer Körper.- 7.3.1 Bilanzgleichungen für homogene Verformungen.- 7.3.2 Isotrope Verformung.- 7.3.3 Einfache Dehnung.- 7.3.4 Planare Dehnung dichtebeständiger Körper.- 7.3.5 Einfache Scherung.- 7.4 Elastische Flüssigkeiten.- 8 Viskose Flüssigkeiten.- 8.1 Das Stoffgesetz der Reiner-Rivlin-Flüssigkeit.- 8.1.1 Linear rein-viskose Flüssigkeiten.- 8.1.2 Nicht-linear rein-viskose Flüssigkeiten.- 8.2 Spezielle homogene Strömungen von Reiner-Rivlin-Flüssigkeiten.- 8.2.1 Gleichförmige Dilatationsströmung.- 8.2.2 Einfache Dehnströmung.- 8.2.3 Einfache Scherströmung.- 9 Viskoelastische Stoffe.- 9.1 Einschränkung des Stoffgesetzes bezüglich der Geschichte.- 9.2 Spannungsrelaxation.- 9.3 Approximation durch Mehrfach-Integrale.- 9.4 Rivlin-Sawyers- und K-BKZ-Flüssigkeiten.- 9.5 Walters-Flüssigkeiten.- 9.6 Rivlin-Ericksen-Flüssigkeiten Approximation für langsame Strömungen.- 9.7 Flüssigkeitsmodelle vom Raten-Typ.- 9.7.1 Modelle vom Maxwell- und Oldroyd-Typ.- 9.7.2 Das Oldroydsche Acht-Konstanten-Modell.- 9.7.3 Das Giesekus-Modell.- 9.8 Strömungen mit konstanter Verformungsgeschichte.- 9.9 Einfache Dehnströmung.- 9.9.1 Dehnviskosität bei der Approximation für langsame Strömungen.- 9.9.2 Dehnviskosität bei der Oldroydschen Acht-KonstantenFlüssigkeit.- 9.9.3 Dehnviskosität bei der Giesekus-Flüssigkeit.- 9.10 Einfache Scherströmung.- 9.10.1 Die viskosimetrischen Funktionen einer viskoelastischen Flüssigkeit.- 9.10.2 Die viskosimetrischen Funktionen bei der Approximation für langsame Strömungen.- 9.10.3 Die viskosimetrischen Funktionen der Acht-Konstanten- Oldroyd-Flüssigkeit.- 9.10.4 Die viskosimetrischen Funktionen der Giesekus-Flüssigkeit.- 9.11 Empirische Gleichungen für Scherspannung oder Scherviskosität.- 9.12 Relaxation nach ruckartiger Verformungsbeanspruchung.- 9.12.1 Der Relaxationsverlauf bei den Walters-Flüssigkeiten.- 9.12.2 Der Relaxationsverlauf bei den Oldroyd-Flüssigkeiten.- 9.12.3 Der Relaxations verlauf bei der Giesekus-Flüssigkeit.- 9.13 Anlaufverhalten.- 9.13.1 Der Anlaufvorgang bei Integralmodellen.- 9.13.2 Der Anlaufvorgang bei Modellen vom Raten-Typ.- 9.13.2.1 Johnson-Segalman-Modell.- 9.13.2.2 Giesekus-Modell.- 9.14 Oszillatorisches Verhalten.- 9.14.1 Oszillationen in einem isotropen linear-elastischen Festkörper.- 9.14.2 Oszillationen in einer Maxwell-Oldroyd-Flüssigkeit B.- 9.14.3 Oszillationen bei nicht-harmonisch-periodischen Verformungen.- 10 Lineare Theorie des viskoelastischen Verhaltens.- 10.1 Induktiver Aufbau der Theorie.- 10.2 Hookescher Körper und newtonsche Flüssigkeit.- 10.3 Die einfachsten viskoelastischen Stoffe.- 10.3.1 Kelvin-Voigt-Körper und Maxwell-Flüssigkeit.- 10.3.2 Grundfunktionen der Sprungart igen Beanspruchung.- 10.3.3 Symbolische Darstellung der Stoffgesetze mittels Netzwerkschaltungen aus Federn und Dämpfern.- 10.3.4 Exkurs: Netzwerke für elasto-visko-plastisches Stoffverhalten.- 10.3.5 Verformungsarbeit, gespeicherter und dissipierter Anteil bei Kelvin-Voigt-Körper und Maxwell-Flüssigkeit.- 10.4 Viskoelastische Stoffe mit drei und vier Parametern.- 10.4.1 Drei-Parameter-Festkörper.- 10.4.2 Drei-Parameter-Flüssigkeit.- 10.4.3 Vier-Parameter-Festkörper.- 10.4.4 Vier-Parameter-Flüssigkeit.- 10.4.5 Mechanische Modelle und Stoffstruktur.- 10.5 n-Parameter-Stoffe.- 10.5.1 Die kanonischen Darstellungen.- 10.5.2 Stoffgesetze und Grundfunktionen.- 10.6 Stoffe mit kontinuierlichen Spektren.- 10.6.1 Grundfunktionen und Spektren.- 10.6.2 Exkurs: Unechte Flüssigkeiten.- 10.7 Grundfunktionen der impulsartigen Beanspruchung.- 10.8 Grundfunktionen der harmonisch-periodischen Beanspruchung.- 10.8.1 Komplexe Grundfunktionen Gespeicherte und dissipierte Arbeit.- 10.8.2 Komplexe Grundfunktionen der n-Parameter-Stoffe.- 10.8.3 Komplexe Grundfunktionen der Stoffe mit kontinuierlichen Spektren.- 10.8.4 Exkurs: Äquivalentes Kelvin-Voigt- und äquivalentes Maxwell-Modell.- 10.8.5 Exkurs: Cox-Merz-Regel und verwandte Korrelationen.- 10.9 Allgemeine Beanspruchungen.- 10.10 Beziehungen zwischen den Grundfunktionen I.- 10.10.1 Die Volterra-Integralgleichungen.- 10.10.2 Abschätzungen.- 10.11 Beziehungen zwischen den Grundfunktionen II.- 10.11.1 Umrechnung mittels Laplace- und Carson-Transformation.- 10.11.2 Exkurs: Beweis einiger für n-Parameter-Stoffe gültigen Beziehungen.- 10.11.3 Exkurs: Der komplexe Modul der unechten Flüssigkeit.- 10.11.4 Die Kronig-Kramersschen Beziehungen.- 10.11.5 Umrechnung von Spannungs- und Verformungsverläufen durch Fourier-Transformation.- 10.12Die Struktur der linearen Theorie der Viskoelastizität.- 10.12.1 Die Funktionaloperatoren und ihre Darstellungen.- 10.12.2 Struktur der Theorie und Probleme ihrer Anwendung.- 10.12.3 Deduktive Ableitung der linearen Theorie.- 10.12.4 Einige Anmerkungen zur traditionellen Darstellung der linearen Theorie.- 10.13Formulierung der Theorie für allgemeine Beanspruchungen.- 10.13.1 Allgemeine Operator-Gleichungen.- 10.13.2 Operator-Gleichungen und komplexe Grundfunktionen für die einfache Dehnung.- 10.13.3 Exkurs: Die Dehnverformung einiger einfacher Stoffe Grenzwerte des Poisson-Verhältnisses.- 10.14Viskoelastischen Eigenschaften von Polymeren.- 10.14.1 Die Grundfunktionen der verschiedenen Typen von Polymersystemen.- 10.14.2 Reduzierte Variablen und Master-Kurven.- 10.15Meßmethoden zur Erfassung der Theologischen StofFeigenschaften.- 11 Einfache Verformungs- und Strömungsprobleme.- 11.1 Problemstellung.- 11.2 Torsion eines elastischen Zylinders.- 11.3 Wellenausbreitung in viskoelastischen Stoffen.- 11.3.1 Trans versai wellen im Halbraum.- 11.3.1.1 Harmonisch-periodische Erregung.- 11.3.1.2 Allgemeine Erregung.- 11.3.1.3 Das Rayleigh-Problem.- 11.3.2 Transversalwellen zwischen zwei Parallelplatten.- 11.4 Erzwungene und freie Schwingungen viskoelastischer Stoffe.- 11.4.1 Schwingungsviskosimeter.- 11.4.2 Torsionspendel.- 11.4.3 Exkurs: Torsionsschwingungsdämpfer.- 11.4.4 Maxwell-Orthogonal-Rheometer.- 11.5 Stationäre Schichtenströmungen.- 11.5.1 Charakterisierung der stationären Schichtenströmungen.- 11.5.2 Kegel-Platte-Strömung.- 11.5.3 Platte-Platte-Strömung.- 11.5.4 Couette-Strömung.- 11.5.4.1 Weissenberg-Effekt.- 11.5.4.2 Exkurs: Strömung in einer geneigten offenen Rinne.- 11.5.4.3 Couette-Viskosimetrie.- 11.5.4.4 Exkurs: Gleitlagerströmung.- 11.5.5 Stationäre ebene Schichtenströmung.- 11.5.6 Stationäre Kanalströmung.- 11.5.7 Poiseuille-Strömung.- 11.5.8 Stationäre Ringspaltströmung.- 11.5.9 Exkurs: Bestimmung der wahren Fließkurve mit der Methode der repräsentativen Viskosität.- 11.5.10 Exkurs: Ein- und Auslaufkorrekturen für Rohr- und Kapillarviskosimeter.- 11.5.11 Exkurs: Strahlaufweitung und Strahlimpuls-Methode.- 11.5.12 Exkurs: Lochdruck-Korrektur.- 11.5.13 Stationäre Strömungen durch gerade Rohre mit beliebigem Querschnitt.- 11.5.14 Scherströmung zwischen zwei Ebenen mit Injektion und Absaugung.- 11.5.14.1 Problemstellung.- 11.5.14.2 Lösungen für die Oldroyd-Flüssigkeit.- 11.5.14.3 Lösungen für die Maxwell-Oldroyd-Flüssigkeit.- 11.5.14.4 Lösungen für die newtonsche Flüssigkeit.- 11.5.14.5 Allgemeine Folgerungen.- 11.5.14.6 Lösungsansätze mit der Approximation zweiter Ordnung.- 11.6 Instationäre Dehnströmungen.- 11.6.1 Die Problematik der Realisierung stationärer Dehnströmungen.- 11.6.2 Spinnrheometer.- 11.6.3 Fano-Strömung.- 11.6.4 Andere Methoden zur Bestimmung der Dehnviskosität.- 12 Anspruchsvollere Strömungsprobleme.- 12.1 Grundgleichungen und Lösungsmethoden.- 12.1.1 Die verallgemeinerte Navier-Stokes-Gleichung.- 12.1.2 Die direkte Methode.- 12.1.3 Die Methode der Zerlegung in ein Quellen- und ein Wirbelfeld Skalares Potential und Vektorpotential.- 12.1.4 Ebene Strömungsfelder Die Lagrangesche Stromfunktion.- 12.1.5 Rotationssymmetrische Strömungsfelder Die Stokessche Stromfunktion.- 12.1.6 Strömungsfelder mit kreisförmigen Stromlinien Direkte Methode.- 12.2 Störungsrechnung.- 12.3 Hilfssätze zur Vereinfachung der Störungsrechnung.- 12.3.1 Hilfssatz von Giesekus.- 12.3.2 Hilfssatz von Tanner und Pipkin.- 12.3.3 Hilfssatz von Langlois, Rivlin und Pipkin.- 12.3.4 Reziprozitätssatz von Lorentz.- 12.4 Teilchen in Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten.- 12.4.1 Kräfte auf eine Kugel in der einfachen Scherströmung.- 12.4.2 Bewegung und Orientierung schlanker Teilchen in der ein- fachen Scherströmung.- 12.4.3 Überblick über weitere Effekte an suspendierten.- Teilchen 12.4.3.1 Wechselwirkungen in viskoelastischen Flüssig- keiten.- 12.4.3.2 Effekte in inhomogenen Strömungsfeldern.- 12.5 Sekundärströmungen.- 12.5.1 Unterscheidung von Primär- und Sekundärströmung.- 12.5.2 Strömung um eine rotierende Kugel.- 12.5.3 Strömung in einer Kegel-Platte-Anordnung.- 12.5.4 Einströmung in eine konische Düse.- 12.5.5 Einströmung in eine Keilspaltdüse.- 12.5.6 Strömung durch ein gerades Rohr mit elliptischem Querschnitt.- 12.5.7 Strömung durch ein gekrümmtes Rohr mit kreisförmigem Querschnitt.- 12.5.8 Einige weitere Beispiele von Sekundärströmungen.- 12.6 Strömungsinstabilitäten.- 12.6.1 Klassifizierung der Instabilitätsphänomene.- 12.6.2 Stabilitätsanalyse.- 12.6.3 Instabilitäten vom Taylor-Typ.- 12.6.3.1 Zerlegung der Strömung in Grund- und Störströmung.- 12.6.3.2 Qualitative Vorbetrachtung.- 12.6.3.3 Die Störungsgleichungen für die Approximation zweiter Ordnung.- 12.6.3.4 Der Spezialfall des geraden Couette-Spaltes.- 12.6.3.5 Stationäre und oszillatorische Instabilitäten im gekrümmten Couette-Spalt.- 12.6.3.6 Vergleich mit experimentellen Befunden.- 12.6.4 Instabilitäten in Düsen und an freien Oberflächen.- 12.6.4.1 Schmelzenbruch.- 12.6.4.2 Instabilitäten beim Einströmen in konische und Keilspaltdüsen.- 12.6.4.3 Längsstreifige Freistrahlinstabilitäten.- 12.6.4.4 Verzugsresonanz und Strahlzerfall.- 12.6.4.5 Instabilitäten an ablaufenden Flüssigkeitsfilmen.- 12.6.5 Beispiele von weiteren Instabilitätstypen.- 12.6.5.1 Instabilitäten bei der Umströmung von Körpern.- 12.6.5.2 Thermo-viskoelastische Instabilitäten.- 12.6.6 Turbulenz.- 12.6.6.1 Klassifizierung.- 12.6.6.2 Viskoelastische Turbulenz.- 12.6.6.3 Widerstandsverminderung.- 12.6.6.4 Beeinflussung der Turbulenzstruktur.- 12.7 Schlußbemerkung.- A Anhang: Mathematische Hilfsmittel.- A.l Vektoren und Tensoren.- A.l.l Vektoralgebra.- A.l.1.1 Definitionen.- A.l 1.4 Euklidischer Ortsraum und Koordinatentransformation.- A.l 1.5 Exkurs: Komplexe Vektoren.- A.1.2 Tensoralgebra.- A.l.2.1 Tensoren zweiter Stufe als lineare Abbildungen des Vektorraums auf sich selbst.- A 1.2.2 Komponenten eines Tensors.- A 1.2.3 Spezielle Tensoren, Produkte und Zerlegungen von Tensoren.- A.l.2.6 Cayley-Hamilton-Gleichung Tensor-Polynome und isotrope Tensorfunktionen.- A.l.2.7 Isotrope Tensorfunktionen und Invarianten von mehreren Tensoren.- A.l.2.8 Darstellung von Vektoren und Tensoren mittels nicht-orthonormierter Basen.- A.1.3 Vektor- und Tensoranalysis.- A.3.1 Vektor- und Tensorfelder Linien-, Flächen- und Volumenintegrale.- A 1.3.2 Räumliche Differentiation von Feldfunktionen.- A.1.3.3 Integralsätze.- A.1.3.4 Vektor- und Tensoranalysis in allgemeinen krummlinigen Koordinatensystemen.- A.1.3.5 Vektor- und Tensoranalysis in krummlinigen orthogonalen Koordinatensystemen.- A.1.3.6 Vektor- und Tensoranalysis in Zylinder- und Kugelkoordinaten.- A.2 Laplace- und Fourier-Transformation.- A.2.1 Heaviside- und Dirac-Funktion.- A.2.2 Laplace-Transformation.- A.2.3 Fourier-Transformation.