Grenzen der Mathematik

Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann ist Dozent an der Fakultät für Informatik und Wirtschaftsinformatik der Hochschule Karlsruhe - Technik und Wirtschaft.

Vorwort

1 Historische Notizen
1.1 Wahrheit und Beweisbarkeit
1.2 Der Weg zur modernen Mathematik
1.2.1 Rätsel des Kontinuums
1.2.2 Auf den Spuren der Unendlichkeit
1.2.3 Macht der Symbole
1.2.4 Aufbruch in ein neues Jahrhundert
1.2.5 Grundlagenkrise
1.2.6 Axiomatische Mengenlehre
1.2.7 Hilberts Programm und Gödels Beitrag
1.2.8 Grenzen der Berechenbarkeit
1.2.9 Auferstanden aus Ruinen
1.3 Übungsaufgaben

2 Formale Systeme
2.1 Definition und Eigenschaften
2.2 Entscheidungsverfahren
2.3 Aussagenlogik
2.3.1 Syntax und Semantik
2.3.2 Aussagenlogischer Kalkül
2.4 Prädikatenlogik erster Stufe
2.4.1 Syntax und Semantik
2.4.2 Prädikatenlogischer Kalkül
2.5 Prädikatenlogik mit Gleichheit
2.6 Prädikatenlogik höherer Stufe
2.6.1 Syntax und Semantik
2.6.2 Henkin-Interpretation
2.7 Übungsaufgaben

3 Fundamente der Mathematik
3.1 Peano-Arithmetik
3.1.1 Syntax
3.1.2 Semantik
3.1.3 Axiome und Schlussregeln
3.2 Axiomatische Mengenlehre
3.2.1 Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
3.2.1.1 ZF-Axiome
3.2.1.2 Das Auswahlaxiom
3.2.1.3 Mengenlehre als Fundament der Mathematik
3.2.1.4 Einbettung der natürlichen Zahlen
3.2.2 Ordinalzahlen
3.2.2.1 Definition und Eigenschaften
3.2.2.2 Der Unendlichkeit entgegen
3.2.2.3 Ordnungstypen und Wohlordnungen
3.2.2.4 Transfinite Induktion
3.2.3 Kardinalzahlen
3.3 Übungsaufgaben

4 Beweistheorie
4.1 Gödel'sche Unvollständigkeitssätze
4.2 Der erste Unvollständigkeitssatz
4.2.1 Arithmetisierung der Syntax
4.2.2 Primitiv-rekursive Funktionen
4.2.3 Arithmetische Repräsentierbarkeit
4.2.4 Gödels Diagonalargument
4.2.5 Rossers Beitrag
4.3 Der zweite Unvollständigkeitssatz
4.4 Gödels Sätze richtig verstehen
4.5 Satz von Goodstein
4.6 Übungsaufgaben

5 Berechenbarkeitstheorie
5.1 Berechnungsmodelle
5.1.1 Turing-Maschinen
5.1.1.1 Erweiterungen des Basismodells
5.1.1.2 Alternative Beschreibungsformen
5.1.1.3 Universelle Turing-Maschine
5.1.2 Registermaschinen
5.2 Church'sche These
5.3 Grenzen der Berechenbarkeit
5.3.1 Halteproblem
5.3.2 Satz von Rice
5.4 Folgen für die Mathematik
5.4.1 Unentscheidbarkeit der PL1
5.4.2 Unvollständigkeit der Arithmetik
5.4.3 Hilberts zehntes Problem
5.4.3.1 Diophantische Repräsentierbarkeit
5.4.3.2 Codierung von Registermaschinen
5.5 Übungsaufgaben

6 Algorithmische Informationstheorie
6.1 Algorithmische Komplexität
6.2 Die Chaitin'sche Konstante
6.3 Unvollständigkeit formaler Systeme
6.4 Übungsaufgaben

7 Modelltheorie
7.1 Meta-Resultate zur Prädikatenlogik
7.1.1 Modellexistenzsatz
7.1.2 Kompaktheitssatz
7.1.3 Satz von Löwenheim-Skolem
7.2 Nichtstandardmodelle von PA
7.2.1 Abzählbare Nichtstandardmodelle
7.2.2 Überabzählbare Nichtstandardmodelle
7.3 Skolem-Paradoxon
7.4 Boole'sche Modelle
7.4.1 Definition und Eigenschaften
7.4.2 Ein einfacher Unabhängigkeitsbeweis
7.5 Übungsaufgaben

Literaturverzeichnis
Namensverzeichnis
Sachwortverzeichnis

Das vorliegende Buch entführt Sie auf eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik. Es ist eine Reise voller Überraschungen, hin zu den Grenzen der Mathematik.
Spektrum der Wissenschaft
Das Buch von Dirk W. Hoffmann hat mir ausgesprochen gut gefallen. Der Schreibstil des Autors - stets auf Verständlichkeit bedacht - die vielen historischen Bezüge, die wohldurchdachte Aufmachung des Buches mit seinen vielen Bildern, Beispielen und Merkkästen und nicht zuletzt die jedem Kapitel beigegebenen Aufgaben machen das Buch zu einer Perle.
Mathematischer Semesterbericht
Das 409 Seiten starke Buch ich eine gelungene Einführung in mathematische Logik. Es stellt einen guten Überblick über die wesentlichen Erkenntnisse und die Grundlagen der Mathematik dar und beginnt - im ersten Kapitel - mit einem historischen Überblick vom Ende des 19. Jahrhunderts an, der durchaus nicht nur bei der ersten Beschäftigung mit dem Thema sehr lesenswert ist.
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