Kleine Formelsammlung Mathematik (eBook)

Prof. Dr. Michael Sachs hält Vorlesungen zur Ingenieurmathematik einschließlich der Statistik an der Hochschule München, Fakultät für angewandte Naturwissenschaften und Mechatronik.

Vorwort 9
Inhalt 11
1 Logik, Arithmetik, Algebra 17
1.1 Mathematische Logik 17
1.1.1 Ein- und zweistellige Boolesche Funktionen 17
1.1.2 Rechengesetze (Boolesche Algebra) 19
1.2 Mengen 19
1.2.1 Grundlagen 19
1.2.2 Mengenoperationen 20
1.2.3 Rechenregeln für Mengen 21
1.2.4 Relationen 22
1.2.5 Zahlensysteme 22
1.3 Menge der reellen Zahlen 23
1.3.1 Standard-Zahlenmengen 23
1.3.2 Grundoperationen für reelle Zahlen 25
1.3.3 Potenzen, Wurzeln 28
1.3.4 Logarithmen 29
1.3.5 Binomischer Satz 30
1.4 Menge der komplexen Zahlen 32
1.4.1 Grundlagen 32
1.4.2 Darstellungsformen komplexer Zahlen 33
1.4.3 Grundrechenarten mit komplexen Zahlen 34
1.4.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen 35
1.5 Kombinatorik 35
1.6 Folgen 37
1.6.1 Grundlagen 37
1.6.2 Schranken, Grenzwert und Monotonie einer Folge 37
1.6.3 Arithmetische und geometrische Folgen 38
1.6.4 Zins-, Zinseszins-, Renten- und Tilgungsrechnung 40
1.7 Gleichungen und Ungleichungen, Algebra 42
1.7.1 Grundlagen 42
1.7.2 Lineare Gleichungen 43
1.7.3 Nichtlineare Gleichungen, Polynome 44
1.7.4 Wurzelgleichungen, transzendente Gleichungen 47
1.7.5 Numerische Verfahren für Gleichungen 47
2 Lineare Algebra 50
2.1 Vektoren 50
2.1.1 Grundbegriffe 50
2.1.2 Skalarprodukt im Rn 54
2.1.3 Vektoren im R3 56
2.2 Matrizen 59
2.2.1 Grundlagen 59
2.2.2 Matrizengesetze 60
2.2.3 n-reihige quadratische Matrizen 61
2.2.4 Rang, Normen 64
2.2.5 Determinanten 65
2.2.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 67
2.3 Lineare Gleichungssysteme 69
2.3.1 Bezeichnungen 69
2.3.2 Lösbarkeitsbedingungen 70
2.3.3 Lösungsverfahren 71
2.4 Lineare Abbildungen 73
2.4.1 Grundlagen 73
2.4.2 Spezielle lineare Abbildungen in der Ebene 74
2.5 Koordinatensysteme 75
2.5.1 Kartesische Koordinaten 75
2.5.2 Zylinderkoordinaten 76
2.5.3 Kugelkoordinaten 76
2.6 Koordinatentransformationen 77
2.6.1 Koordinatentransformationen in der Ebene 78
2.6.2 Koordinatentransformationen im Raum 79
3 Elementare und analytische Geometrie 81
3.1 Planimetrie, ebene Trigonometrie 81
3.1.1 Winkel 81
3.1.2 Teilungen, Ähnlichkeit, Kongruenz 83
3.1.3 Dreiecke 84
3.1.4 Vierecke 86
3.1.5 Vielecke 88
3.1.6 Kreis 89
3.2 Geometrische Körper (Stereometrie) 91
3.2.1 Ebenflächig begrenzte Körper (Polyeder, Vielflache) 92
3.2.2 Krummflächig begrenzte Körper 93
3.3 Punkt, Gerade, Ebene 96
3.3.1 Punkt, Strecke 96
3.3.2 Gerade in der Ebene 97
3.3.3 Gerade im Raum 99
3.3.4 Mehrere Geraden 101
3.3.5 Ebene 103
3.3.6 Flächeninhalt, Volumen 106
3.4 Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) 106
3.4.1 Gemeinsame Charakterisierungen aller Kegelschnitte 106
3.4.2 Kreis 108
3.4.3 Ellipse 109
3.4.4 Parabel 113
3.4.5 Hyperbel 115
3.5 Flächen 2. Ordnung 118
3.6 Hauptachsentransformation 123
4 Funktionen 125
4.1 Grundlagen 125
4.2 Grenzwerte, unbestimmte Ausdrücke 128
4.2.1 Grenzwerte einer Funktion 128
4.2.2 Unbestimmte Ausdrücke 129
4.3 Eigenschaften reeller Funktionen 130
4.4 Rationale Funktionen 131
4.4.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome) 131
4.4.2 Interpolation 133
4.4.3 Gebrochenrationale Funktionen 134
4.5 Nichtrationale Funktionen 135
4.5.1 Elementare Funktionen 135
4.5.2 Wurzelfunktionen 136
4.5.3 Exponentialfunktionen 137
4.5.4 Logarithmusfunktionen 137
4.5.5 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen 138
4.5.6 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen) 144
4.5.7 Hyperbelfunktionen 145
4.5.8 Areafunktionen 148
4.6 Ausgewählte ebene Kurven 150
4.7 Kurvendiskussion 152
5 Analysis 153
5.1 Differenzialrechnung 153
5.1.1 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen 153
5.1.2 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 158
5.1.3 Extrema und Wendepunkte 160
5.1.4 Differenzialgeometrie ebener Kurven 163
5.1.5 Differenzialgeometrie von Raumkurven und Raumflächen 167
5.2 Integralrechnung 171
5.2.1 Unbestimmtes und bestimmtes Integral 171
5.2.2 Grundintegrale und Integrationsregeln 174
5.2.3 Integrationstechniken 176
5.2.4 Numerische Integration 179
5.2.5 Gebietsintegrale, Mehrfachintegrale 181
5.2.6 Anwendungen der Integralrechnung 184
5.3 Vektoranalysis 191
5.3.1 Vektorwertige Funktionen, Felder 191
5.3.2 Gradient eines skalaren Feldes 194
5.3.3 Divergenz eines Vektorfeldes 194
5.3.4 Laplace-Operator eines skalaren Feldes 195
5.3.5 Rotation eines Vektorfeldes 196
5.3.6 Kurvenintegrale 197
5.3.7 Oberflächenintegrale 200
5.3.8 Integralsätze von Green, Gauss und Stokes 203
6 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 205
6.1 Grundlagen 205
6.2 Ausgewählte Differenzialgleichungen 1. Ordnung 207
6.3 Ausgewählte Differenzialgleichungen 2. Ordnung 211
6.3.1 Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung 211
6.3.2 Inhomogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung 214
6.4 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung 216
6.5 Numerische Verfahren für Differenzialgleichungen 1. Ordnung 218
6.5.1 Polygonzugverfahren von Euler-Cauchy 218
6.5.2 Verfahren 4. Ordnung von Runge-Kutta 219
6.6 Lineare Differenzialgleichungssysteme 220
7 Reihen, Integral-Transformationen 222
7.1 Unendliche Reihen 222
7.1.1 Zahlenreihen 222
7.1.2 Konvergenzkriterien für Reihen 224
7.1.3 Potenzreihen 226
7.1.4 Taylor-Formel und Taylor-Reihen 227
7.1.5 Zusammenstellung fertig entwickelter Taylor-Reihen 229
7.1.6 Fourier-Reihen 232
7.2 Fourier-Transformation 235
7.3 Laplace-Transformation 238
7.3.1 Rechenregeln der Laplace-Transformation 239
7.3.2 Lösung von gewöhnlichen linearen Differenzialgleichungen 241
7.3.3 Korrespondenztabelle der Laplace-Transformation 242
8 Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung 245
8.1 Beschreibende (deskriptive) Statistik 245
8.1.1 Grundbegriffe, Darstellungsarten 245
8.1.2 Lagemaße (Mittelwerte) 247
8.1.3 Streuungsmaße 249
8.1.4 Korrelationsmaße 251
8.1.5 Regressionsrechnung 252
8.1.6 Fehlerrechnung 253
8.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 255
8.2.1 Grundbegriffe 255
8.2.2 Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung 257
8.2.3 Zufällige Variable 259
8.2.4 Diskrete zufällige Variable 263
8.2.5 Stetige zufällige Variable 265
8.3 Schließende (induktive) Statistik 269
8.3.1 Schätzfunktionen 269
8.3.2 Intervallschätzung 270
8.3.3 Signifikanztests 271
8.4 Tabellen 274
8.4.1 Verteilungsfunktion (x) der Standard-Normalverteilung 274
8.4.2 Quantile der t-Verteilung (Student-Verteilung) 275
8.4.3 Quantile der 2-Verteilung 276
9 Integraltabelle 277
9.1 Rationale Funktionen 277
9.2 Wurzelfunktionen 277
9.3 Trigonometrische Funktionen 279
9.4 Exponential- und Hyperbelfunktionen 281
9.5 Exponential- und trigonometrische Funktionen 282
9.6 Logarithmusfunktionen 282
9.7 Arcusfunktionen 282
Sachwortverzeichnis 283