Grundlagen kontinuierlicher Symmetrien

Franck Laloë ist Wissenschaftler am Kastler-Brossel-Labor der Ecole Normale Supérieure in Paris. Er war zunächst an der Universität Paris VI tätig, bevor er an das CNRS, das französische Nationale Forschungszentrum, berufen wurde. Seine Forschungsschwerpunkte sind optisches Pumpen, statistische Mechanik von Quantengasen, musikalische Akustik und die Grundlagen der Quantenmechanik.

I Symmetrietransformationen
A Grundlegende Symmetrien
B Symmetrien in der klassischen Mechanik
C Symmetrien in der Quantenmechanik
A_I Eulersche und Lagrange'sche Ansichten in der klassischen Mechanik
1 Eulers Sichtweise
2 Lagranges Standpunkt

II Begriffe zur Gruppentheorie
A Allgemeine Eigenschaften von Gruppen
B Lineare Darstellungen einer Gruppe
A_II Residualklassen einer Untergruppe; Quotientengruppe
1 Residualklassen auf der linken Seite
2 Quotientengruppe

III Einführung in stetige Gruppen und Lie-Gruppen
A Allgemeine Eigenschaften
B Beispiele
C Galilei- und Poincaré-Gruppen
A_III Adjungierte Darstellung, Killing-Form, Casimir-Operator
1 Adjungierte Darstellung zur Lie-Algebra
2 Killing-Form; Skalarprodukt und Änderung der Basis in L
3 Totale antisymmetrische Strukturkonstanten
4 Casimir-Operator

IV Induzierte Darstellungen im Zustandsraum
A Bedingungen, die an Transformationen im Zustandsraum gestellt werden
B Wigner-Theorem
C Transformationen von Beobachtungsgrößen
D Lineare Darstellungen im Zustandsraum
E Phasenfaktoren und projektive Darstellungen
A_IV Endlich-dimensionale unitäre projektive Darstellungen verwandter Lie-Gruppen
1 Fall, in dem G einfach zusammenhängend ist
2 Fall, in dem G P-verbunden ist
B_IV Uhlhorn-Wigner-Theorem
1 Reeller Raum
2 Komplexer Raum

V Darstellungen der Galilei- und Poincaré-Gruppen: Masse, Spin und Energie
A Galileo-Gruppe
B Poincaré-Gruppe
A_V Einige Eigenschaften der Operatoren S und W_2
1 Operator S
2 Eigenwerte des Operators W_2
B_V Geometrische Verschiebungsgruppe
1 Erinnern: Klassische Eigenschaften von Verdrängungen
2 Zugehörige Operatoren im Zustandsraum
C_V Saubere Lorentzgruppe
1 Verknüpfung mit der Gruppe SL(2,C)
2 Kleine Gruppe, die mit einem Vierer-Vektor assoziiert ist
3 Operator W_2
D_V Raumspiegelungen (Parität)
1 Aktion im realen Raum
2 Zugehöriger Operator im Zustandsraum
3 Beibehaltung der Parität

VI Konstruktion von Zustandsräumen und Wellengleichungen
A Galileo-Gruppe, Schrödinger-Gleichung
B Poincaré-Gruppe, Klein-Gordon- und Dirac-Gleichungen
A_VI Lagrangeschen von Wellengleichungen
1 Lagrangesche eines Feldes
2 Schrödingergleichung
3 Klein-Gordon-Gleichung
4 Dirac-Gleichung

VII Unreduzierbare Darstellungen der Gruppe der Rotationen, Spinoren
A Unreduzierbare unitäre Darstellungen der Rotationsgruppe
B Spin-1/2-Teilchen; Spinoren
C Komposition der kinetischen Momente
A_VII Homorphismus zwischen SU(2) und Rotationsmatrizen
1 Transformation eines Vektors P, induziert durch eine SU(2)-Matrix
2 Die Transformation ist eine Drehung
3 Homomorphismus
4 Zusammenhang mit der Argumentation von Kapitel VII
5 Zusammenhang mit bivalenten Darstellungen

VIII Transformation von Beobachtungsgrößen durch Rotation
A Vektor-Operatoren
B Tensor-Operatoren
C Wigner-Eckart-Theorem
D Zerlegung der Dichtematrix auf Tensoroperatoren
A_VIII Grundlegende Bemerkungen zu klassischen Tensoren
1 Vektoren
2 Tensoren
3 Eigenschaften
4 Tensorialitätskriterium
5 Symmetrische und antisymmetrische Tensoren
6 Spezielle Tensoren
7 Unreduzierbare Tensoren
B_VIII Tensoroperatoren zweiter Ordnung
1 Tensorprodukt von zwei Vektoroperatoren
2 Kartesische Komponenten des Tensors im allgemeinen Fall
C_VIII Mehrpolige Momente
1 Elektrische Multipolmomente
2 Magnetische Multipolmomente
3 Multipolmomente eines Quantensystems für eine gegebene kinetische Momentmultiplizität J

IX Gruppen SU(2) und SU(3)
A Ein System von unterscheidbaren, aber gleichwertigen Teilchen
B SU(2)-Gruppe und Isospin-Symmetrie
C Symmetrie SU(3)
A_IX die Natur eines Teilchens ist gleichbedeutend mit einer internen Quantenzahl
1 Partielle oder totale Antisymmetrisierung eines Zustandsvektors
2 Korrespondenz zwischen den Zuständen von zwei physikalischen Systemen
3 Physikalische Folgerungen
B_IX Operatoren, die die Symmetrie eines Zustandsvektors durch Permutation verändern
1 Fermionen
2 Bosonen

X Symmetriebrechung
A Magnetismus, Brechung der Rotationssymmetrie
B Einige andere Beispiele