Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen (eBook)

Prof. Dr. Matthias Ludwig, Professor für Didaktik der Mathematik an der Goethe-Universität FrankfurtProf. Dr. Andreas Filler, Professor für Didaktik der Mathematik an der Humboldt-Universität zu BerlinProf. Dr. Anselm Lambert, Professor für Mathematik und ihre Didaktik an der Universität des Saarlandes

Editorial 5
Inhaltsverzeichnis 9
1 Grundbegriffe, Grundvorstellungen und Nutzungen der Geometrie 12
1.1 Grundbegriffe der Geometrie 12
1.2 Grundvorstellungen zur Geometrie 14
1.3 Nutzung von Geometrie 15
1.4 (Individueller) Sinn der Geometrie 17
1.5 Zum Curriculum Geometrie 19
1.6 Rückblick 19
1.7 Literatur 20
2 Grundvorstellungen zur Schulgeometrie 23
„Situated Cognition“ in der Geometriedidaktik 23
2.1 Grundvorstellungen – eine robuste didaktische Kategorie 23
2.2 Situated Cognition – eine analytische Perspektive 26
2.3 Grundvorstellungen zur Schulgeometrie 27
G1: Geometrie als Schule des rechten Sehens 27
G2: Geometrie als Schule des verständigen Denkens 29
G3: Geometrie als Schule des regelgeleiteten Gehorsams 30
G4: Geometrie als Schule der technischen Naturbeherrschung 32
G5: Geometrie als Schule der Ästhetik 33
2.4 Schulgeometrie im 21. Jahrhundert? 34
2.5 Literatur 37
3 Winkel in der Sekundarstufe I – Schülervorstellungen erforschen 39
3.1 Einleitung 39
3.2 Winkel – ein aspektreicher Begriff 40
3.2.1 Schulbuchanalyse – Darstellungen und Repräsentationen zum Winkel 42
3.2.2 Untersuchung zu Winkelvorstellungen von Fünft- und Zehntklässlern 45
3.3 Begriffsbildung zum Winkel 47
3.3.1 Untersuchung zu Schülervorstellungen zur Winkelgröße 1° 49
3.4 Fazit 51
3.5 Literatur 51
3.5.1 Schulbücher 52
4 Geometrische Darstellungen als Vorstellungsgrundlage für algebraische Operationen am Beispiel der negativen Zahlen 53
4.1 Einleitung 53
4.2 Primäre und sekundäre Grundvorstellungen 54
4.3 Rationale Zahlen 56
4.3.1 Vom Zahlenstrahl zur Zahlengeraden 57
4.3.2 Addition 57
4.3.3 Subtraktion als Addition der Gegenzahl 58
4.3.4 Multiplikation 58
4.4 Die Multiplikation mit (–1) als Inversion 60
4.4.1 Symmetrien bei Funktionen 60
4.4.2 Sinus- und Cosinus am Einheitskreis 61
4.4.3 Zentrische Streckung 63
4.5 Zusammenfassung und Ausblick 64
4.6 Literatur 65
5 Baustrategien von Vor- und Grundschulkindern: Zur Artikulation räumlicher Vorstellungen in konstruktiven Arbeitsumgebungen 66
5.1 Einleitung 66
5.2 Unangeleitetes und angeleitetes Konstruieren konkreter Bauwerke 68
5.3 Räumliche Fähigkeiten und der Erwerb arithmetischer Konzepte im Grundschulalter 69
5.3.1 Komponenten räumlicher Fähigkeiten 69
5.3.2 Räumliche Fähigkeiten im Arithmetikunterricht der Grundschule 70
5.4 „Ziele und Visionen 2020“: Intentionen des Projekts (Y)CUBES 72
5.5 Einblicke in erste Ergebnisse aus dem Projekt (Y)CUBES 74
5.5.1 Ein Modell zur Charakterisierung von Baustrategien 74
5.5.2 Validierung und Erweiterung des Modells durch Teilstudien im Projekt (Y)CUBES 76
5.6 Ausblick 79
5.7 Literatur 80
6 Grundvorstellungsumbrüche beim Übergang zur 3D-Geometrie 84
6.1 Einleitung 84
6.1.1 Grundvorstellungen 85
6.2 Identifizierte Probleme beim Arbeiten in 3D-DGS 85
6.2.1 Die Kreiskonstruktion 86
6.2.2 Die Lotgeradenkonstruktion 91
6.3 Diskussion und Ausblick 93
6.4 Literatur 94
7 Leitideen des Raumgeometrieunterrichts 96
Geometrieunterricht und Allgemeinbildung – ein Diskussionsbeitrag 96
7.1 Einleitung 96
7.2 Raumgeometrieunterricht (in Österreich) 97
7.3 Wozu (be)treiben wir Geometrie? Drei Gründe 98
7.3.1 Reflektiertes Entscheiden des Individuums und des Kollektivs 98
7.3.2 Kommunikation 100
7.3.3 Erkenntnisbeitrag 102
7.4 Schlüsselaktivitäten und Leitideen 104
7.4.1 Idee der Rekonstruktion (des Raumes aus ebenen Bildern) – das Lesen 106
7.4.2 Idee der Projektion – das Schreiben 108
7.4.3 Idee der Koordinatisierung/Messung – das Normieren 109
7.4.4 Idee der Abstraktion – der geometrische Formenschatz 110
7.4.5 Idee der Dynamik – neue Formen erzeugen 112
7.5 Basisaktivitäten und Formenschatz der Zukunft? 113
7.6 Literatur 114
8 Begriffe im Geometrieunterricht der ‚Hauptschule‘ 115
8.1 ‚Hauptschule‘ 115
8.1.1 Kurzer Überblick über die Vorgeschichte: Die Entwicklung der Volksschule zur Hauptschule 115
8.1.2 Heutige Situation 120
8.2 Begriffsentwicklung in Raumlehre und Geometrieunterricht 121
8.2.1 Kriterienorientierte Klassifikation geometrischer Begriffe 122
8.2.2 Begriffe in der Raumlehre 122
8.2.3 Begriffe im Geometrieunterricht 129
8.3 Aktuelle Diskussion 131
8.3.1 Bildungsstandards und Mindestkompetenzen 131
8.4 Literatur 134
9 Begriffsbilder und -konventionen in Begriffsfeldern: Was ist ein Würfel? 136
9.1 Einleitung 136
9.2 Begriffe, Bezeichner und Objekte 137
9.3 Mehrdeutigkeiten im semiotischen Dreieck – der Würfel 138
9.4 Mehrdeutigkeiten im semiotischen Dreieck – allgemein 142
9.5 Begriffe deskriptiv betrachtet – der Würfel 144
9.6 Begriffe deskriptiv betrachtet – allgemein 154
9.7 Begriffe normativ betrachtet – allgemein 157
9.8 Fazit 159
9.9 Literatur 160
10 Das Haus der Vierecke aus der Sicht des Heidelberger Winkelkreuzes 162
10.1 Die Entwicklung des Heidelberger Winkelkreuzes 162
10.1.1 Modelle von Vierecken mit dem Heidelberger Winkelkreuz spannen 162
10.1.2 Die Entstehung des HWK 163
10.2 Das Heidelberger Winkelkreuz aus mathematischer Sicht 169
10.2.1 Halbdiskrete Polarkoordinaten 169
10.2.2 Beschreibung von Vierecken mit dem HWK 170
10.2.3 HWK-Vierecke, kombinatorische Gleichwertigkeit und Kongruenz 171
10.3 Das Haus der Vierecke aus der Sicht des HWK 174
10.3.1 Quadrate 174
10.3.2 Rechtecke 175
10.3.3 Parallelogramme 175
10.3.4 Symmetrische Trapeze 176
10.3.5 Trapeze 176
10.3.6 Allgemeines (konvexes) Viereck 177
10.3.7 Drachen 178
10.3.8 Noch einmal: Rauten 178
10.3.9 Noch einmal: Quadrate 178
10.3.10 Zusammenfassung 178
10.3.11 Gemeine Wagenhebervierecke 179
10.4 Das Haus der HWK-Vierecke 179
10.4.1 Alle verwendeten Stifte haben verschiedene Farbwerte 180
10.4.2 Genau zwei der verwendeten Stifte sind gleichfarbig 180
10.4.3 Zwei Paare gleichfarbiger Stifte 180
10.4.4 Genau drei der verwendeten Stifte sind gleichfarbig 181
10.4.5 Alle vier der verwendeten Stifte sind gleichfarbig 181
10.5 Einsatz des HWK in der Schule 181
10.5.1 Klassensätze und Lehrerexemplar 181
10.5.2 Einsatzbeispiel für das HWK: Umstrukturierung und Vertiefung des Wissen zu Parallelogrammen 182
10.6 Literatur 184
11 Achsensymmetrie: Vom Spielen zum Formalisieren 185
Eine Vorstellung von Dienes’ Ansatz 185
11.1 Einleitung 185
11.2 Stufen im Lernprozess 187
11.2.1 Stufe 1: Freies Spiel 187
11.2.2 Stufe 2: Spiel nach Regeln 189
11.2.3 Stufe 3: Vergleich der Spiele 190
11.2.4 Stufe 4: Darstellung der Abstraktion 192
11.2.5 Stufe 5: Symbolisierung 193
11.2.6 Stufe 6: Formalisieren 195
11.3 Literatur 197
12 Maßstab 1:1 – Geometrie für Geomatiker 198
12.1 Längen oder Winkel? 198
12.1.1 Die Mutter aller Karten 198
12.1.2 Parameterdarstellung der Kugel 199
12.1.3 Plattkarte im Hochformat 200
12.2 Immer gerade aus 203
12.2.1 Geodätische Linien 203
12.2.2 Großkreise statt Geraden 203
12.2.3 Großkreis auf der Plattkarte 204
12.2.4 Großkreise als Geraden auf der Karte? 205
12.2.5 Gnomonische Projektion 205
12.3 Maßstab eins zu eins 207
12.4 Das Theorema egregium 209
12.5 Flächentreu und winkeltreu 210
12.5.1 Flächentreue Karten 210
12.6 Winkeltreue Karten 213
12.6.1 Gerhard Mercator 213
12.6.2 Loxodromen 214
12.6.3 Die schöne Kugel 215
12.7 Literatur 216
12.7.1 Websites 216