1 Hinführung zur Mathematik in den Wirtschaftswissenschaften

Alle Studienanfänger kennen Mathematik aus ihrer Schulzeit, und die meisten von ihnen wurden in diesem Fach bis zu 13 Jahre lang unterrichtet. Infolgedessen sollten sie über ein solides mathematisches Grundwissen verfügen, um in ihrem Studium auch den Mathematikvorlesungen, die nicht nur in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, sondern auch in den Wirtschaftswissenschaften in den ersten Semestern angeboten werden, hinreichend folgen zu können. Diese Vorlesungen setzen das Grundwissen aus der Schulmathematik voraus und haben darauf aufbauend das Ziel, die Kenntnisse der Mathematik zu verfestigen, auszubauen und konkret im Rahmen der universitären Ausbildung auf wissenschaftliche Fragestellungen anzuwenden. Gute Mathematikkenntnisse sind für das Verständnis komplexer Zusammenhänge in allen genannten Wissenschaften unerlässlich.

Um das Studium – insbesondere das wirtschaftswissenschaftliche Studium – unbeschwert beginnen zu können, sollten deshalb alle Studierenden die Grundlagen der Schulmathematik, ausgehend vom Rechnen mit reellen Zahlen, mit Brüchen und Potenzen aber auch das Lösen von Gleichungen und Textaufgaben ausreichend beherrschen. Mit diesen Kenntnissen sind sie dann in der Lage, nicht nur den Vorlesungen aus dem Grundlagenbereich zur Betriebswirtschafts- und Volkswirtschaftslehre, sondern auch jenen aus dem Methodenbereich, die neben Projektmanagement, Statistik natürlich auch die Mathematik umfassen, folgen zu können.

Nun wird aber in den letzten Jahren an vielen Universitäten und Hochschulen festgestellt, dass bei den Studienanfängern die Kenntnisse in Schulmathematik mitunter unzureichend vorhanden oder in sehr unterschiedlicher Art und Weise ausgeprägt sind. Dies ist nicht nur für Studierende sondern auch für Lehrende höchst unbefriedigend. Es reicht nämlich in den Wirtschaftswissenschaften nicht aus, nur Zahlen in den Taschenrechner einzugeben, um eine Lösung für eine Mathematikaufgabe zu erhalten, sondern es muss die Sprache der Mathematik verstanden werden, um erfolgreich wissenschaftliche Fragestellungen mithilfe der Mathematik beantworten zu können.

Um auch jenen Studienanfängern, die – gegebenenfalls – über nur unzureichende Kenntnisse in den Grundlagen der Schulmathematik verfügen, einen guten Start in das wirtschaftswissenschaftliche Studium zu ermöglichen, werden mittlerweile an vielen Universitäten und Hochschulen sogenannte Vor- oder Brückenkurse zur Mathematik angeboten. Mit diesen Kursen sollen – meist zu Beginn des Studiums – die Studienanfänger an das Fach Mathematik in den Wirtschaftswissenschaften herangeführt werden. Damit sollen zum einen die schulmathematischen Kenntnisse aufgefrischt und zum anderen die Lücken zwischen der Schulmathematik und den mathematischen Anforderungen zum Studienbeginn geschlossen werden.

In den Vor- und Brückenkursen zur Mathematik geht es vorwiegend um die Zahlenlehre und die Arithmetik, also um die Verknüpfungen der Zahlen durch die Rechenoperationen sowie um die dabei zu beachtenden Rechenregeln. Folglich geht es um Axiome sowie um die auf der Grundlage des Potenz-, Wurzel- und Logarithmusbegriffes basierenden Rechenregeln. Die Arithmetik taucht also überall dort auf, wo gerechnet wird, also bei der Umformung von Termen oder Formeln wie beispielsweise in der Algebra beim Lösen von Gleichungen.

Mit diesem Kapitel 1 werden kursorisch solche Grundlagen der Zahlenlehre und der Arithmetik aufgegriffen, deren Inhalte sich in fünf Kursen im Umfang von jeweils vier Vorlesungsstunden vermitteln lassen. Die Studierenden, die nicht die Möglichkeit haben an solchen Vor- oder Brückenkursen teilzunehmen, sollten sich daher mit den Inhalten, die in den folgenden fünf Abschnitten thematisiert werden, unbedingt im Selbststudium auseinandersetzen.

In Abschnitt 1.1 geht es als erstes um die Grundrechenarten, Zahlenmengen und Rechenregeln. Der Abschnitt 1.2 widmet sich sodann dem Rechnen mit Brüchen, Prozenten und Promille; der Abschnitt 1.3 stellt hingegen das Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen in den Vordergrund. Das Umformen von Gleichungen und Ungleichungen wird sodann in Abschnitt 1.4 thematisiert; und das Thema Textaufgaben als mathematische Problemstellungen wird abschließend in Abschnitt 1.5 behandelt.

1.1 Grundrechenarten, Zahlenmengen und Rechenregeln

Das Rechnen gehört neben dem Lesen und Schreiben zu den wichtigen Grundfertigkeiten, die wir alle ausreichend beherrschen sollten, um den Herausforderungen des Lebens gewachsen zu sein. Diese Feststellung wird auch durch das Sprichwort „Wer nicht rechnen kann, wird nicht reich; wer gut rechnen kann, wird nicht arm“ untermauert.1 Rechnen ist letztendlich vonnöten, wenn Objekte wie etwa Zahlen logisch verknüpft werden sollen, und demzufolge muss man angemessene Kenntnisse in den Grundrechenarten besitzen.

Darum geht es in diesem Abschnitt, und es werden insbesondere die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie diverse Zahlenmengen wie auch die zu berücksichtigenden Rechenregeln thematisiert. Der Abschnitt schließt mit mehreren Übungsaufgaben zu den genannten Themen.

Addition. Bei der Addition geht es um das Zusammenzählen zweier (oder mehrerer) Zahlen, den sogenannten Summanden. Für diese Operation wird das Rechenzeichen „+“ (Pluszeichen) verwendet. Somit lässt sich beispielsweise die Addition der Zahlen 3 und 4 einfach durch 3+4 ausdrücken. Das Ergebnis der Addition ist die Summe, also im genannten Beispiel 7.

Subtraktion. Bei der Subtraktion geht es um das Abziehen einer Zahl, dem Subtrahenden, von einer anderen Zahl, dem Minuenden. Für diese Operation wird das Rechenzeichen „−“ (Minuszeichen) verwendet. Somit lässt sich beispielsweise die Subtraktion der Zahlen 9 und 4 einfach durch 9−4 ausdrücken. Das Ergebnis der Subtraktion ist die Differenz, welche im genannten Beispiel 5 ist.

Multiplikation. Bei der Multiplikation geht es um das Malnehmen zweier (oder mehrerer) Zahlen, dem Multiplikand und dem Multiplikator, oder einfacher gesagt den sogenannten Faktoren, sofern es keiner Unterscheidung von Multiplikand und Multiplikator bedarf. Für diese Operation wird das Rechenzeichen „·“ oder „ד (Malzeichen) verwendet. Somit lässt sich beispielsweise die Multiplikation der Zahlen 2 und 3 einfach durch 2·3 oder 2×3 ausdrücken. Das Ergebnis der Multiplikation ist das Produkt; im genannten Beispiel ist das Produkt 6.

Division. Bei der Division geht es um das Teilen einer Zahl (Dividend), durch eine andere Zahl (Divisor). Für diese Operation wird das Rechenzeichen „÷“ oder „/“ (Geteiltzeichen) verwendet. Somit lässt sich beispielsweise die Division der Zahlen 10 und 5 einfach durch 10÷5 oder 10/5 (oder 105) ausdrücken. Das Ergebnis der Division heißt Quotient, und im genannten Beispiel ist der Quotient demzufolge 2.

Zahlenmengen

In der Schule wird das Rechnen anfangs mit kleinen natürlichen Zahlen 1 bis 10 geübt, bis auch das Rechnen mit großen natürlichen Zahlen, mit den ganzen Zahlen, aber auch mit Bruchzahlen (rationale Zahlen), mit irrationalen Zahlen und mit reellen Zahlen behandelt wird. Die genannten Zahlenbereiche lassen sich als Mengen darstellen, deren Elemente die entsprechenden Zahlen aus den Zahlenbereichen sind.

Natürliche Zahlen. Die natürlichen Zahlen n=1,2,3,… sind die Elemente der Menge der natürlichen Zahlen N={1,2,3,…}. In dieser so definierten Menge N ist die 0 nicht enthalten. Soll dagegen die 0 der Menge der natürlichen Zahlen zugeordnet werden, schreibt man N0={0,1,2,3,…}.

Ganze Zahlen. Die Menge Z der ganzen Zahlen z setzt sich aus der 0 und den natürlichen Zahlen n und ihren sogenannten Gegenzahlen (−n) zusammen. Man schreibt Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}.

Rationale Zahlen. Die rationalen Zahlen q ergeben sich aus einer Division dahingehend, dass sie sich aus dem Quotienten zn berechnen, wobei der Zähler z eine ganze Zahl und der Nenner n eine natürliche Zahl ist. Man schreibt für die Menge der rationalen Zahlen dann Q={zn∣z∈Z∧n∈N}.

Irrationale Zahlen. Die irrationalen Zahlen lassen sich nicht mehr als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen. Irrationale Zahlen sind beispielsweise die Zahl π=3,1415926535897…, die Eulersche Zahl e=2,718281828… oder die Quadratwurzel aus 2, also 22=2=1,414213562….

Reelle Zahlen. Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge R der reellen Zahlen r. Man schreibt für die Menge der reellen Zahlen R={r∣rist eine rationale oder eine irrationale Zahl}.

Die reellen Zahlen können als Punkte einer Geraden, der sogenannten Zahlengeraden, veranschaulicht werden, wie es Abbildung 1.1 zeigt. Dabei wird jede reelle Zahl auf einen Punkt der...