Mathematik für Chemiker (eBook)

Ansgar Jüngel ist Professor für partielle Differentialgleichungen am Institut für Analysis und Scientific Computing der Technischen Universität Wien. In seiner Lehrtätigkeit widmet er sich vor allem der Anwendung von partiellen Differentialgleichungen in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften. Er ist seit 2007 federführend für das Buch "Mathematik für Chemiker", welches von H.G. Zachmann begründet wurde.

Mathematik für Chemiker 1
Inhaltsverzeichnis 7
Vorwort zur siebten Auflage 15
Vorwort zur sechsten Auflage 17
Vorwort zur ersten Auflage 19
1 Mathematische Grundlagen 23
1.1 Die Sprache der Mathematik 23
1.2 Mengenlehre 25
1.3 Zahlen 28
1.4 Einige Rechenregeln 34
1.5 Kombinatorik 37
2 Lineare Algebra 45
2.1 Matrizen 45
2.2 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus 53
2.3 Determinanten 60
2.3.1 Definition 60
2.3.2 Rechenregeln 63
2.3.3 Berechnung von Determinanten 66
2.4 Lineare Unabhängigkeit und Rang einer Matrix 68
2.4.1 Lineare Unabhängigkeit 68
2.4.2 Rang einer Matrix 70
2.5 Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme 72
2.5.1 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme 72
2.5.2 Berechnung der Inversen einer Matrix 77
3 Unendliche Zahlenfolgen und Reihen 81
3.1 Unendliche Zahlenfolgen 81
3.1.1 Definitionen und Beispiele 81
3.1.2 Konvergenz einer Zahlenfolge 83
3.1.3 Das Rechnen mit Grenzwerten 86
3.2 Unendliche Reihen 90
3.2.1 Definitionen und Beispiele 90
3.2.2 Konvergenzkriterien 93
3.2.3 Das Rechnen mit unendlichen Reihen 96
3.2.4 Potenzreihen 98
4 Funktionen 101
4.1 Erläuterung des Funktionsbegriffes 101
4.2 Funktionen einer Variablen 102
4.2.1 Darstellung 102
4.2.2 Umkehrung und implizite Darstellung einer Funktion 104
4.2.3 Wichtige Begriffe zur Charakterisierung von Funktionen 106
4.2.4 Einige spezielle Funktionen 107
4.2.5 Stetigkeit 118
4.2.6 Funktionenfolgen 121
4.3 Funktionen mehrerer Variablen 124
4.3.1 Darstellung 124
4.3.2 Definitionsbereiche 129
4.3.3 Stetigkeit 130
5 Vektoralgebra 133
5.1 Rechnen mit Vektoren 133
5.1.1 Definition eines Vektors 133
5.1.2 Rechenregeln für Vektoren 136
5.1.3 Skalarprodukt 139
5.1.4 Vektorprodukt 141
5.1.5 Spatprodukt 144
5.2 Darstellung von Vektoren in verschiedenen Basen 147
5.2.1 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren 147
5.2.2 Basis im R3 und Basiswechsel 150
5.2.3 Orthonormalbasis 154
6 Analytische Geometrie 159
6.1 Analytische Darstellung von Kurven und Flächen 159
6.1.1 Darstellung durch Gleichungen in x, y und z 159
6.1.2 Parameterdarstellung 168
6.2 Lineare Abbildungen 171
6.2.1 Definitionen 171
6.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 173
6.2.3 Drehungen und Spiegelungen 177
6.3 Koordinatentransformationen 184
6.3.1 Lineare Transformationen 184
6.3.2 Transformation auf krummlinige Koordinaten 191
7 Differenziation und Integration einer Funktion einer Variablen 197
7.1 Differenziation 197
7.1.1 Die erste Ableitung einer Funktion 197
7.1.2 Rechenregeln für das Differenzieren 201
7.1.3 Differenziation einiger Funktionen 205
7.1.4 Differenziation komplexwertiger Funktionen 209
7.1.5 Höhere Ableitungen 213
7.1.6 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung 214
7.1.7 Anwendungen 215
7.2 Integration von Funktionen 218
7.2.1 Das bestimmte Integral 218
7.2.2 Das unbestimmte Integral 225
7.2.3 Integrationsmethoden 229
7.2.4 Uneigentliche Integrale 238
7.2.5 Anwendungen 242
7.3 Differenziation und Integration von Funktionenfolgen 248
7.4 Die Taylor-Formel 250
7.5 Unbestimmte Ausdrücke: Regel von de l'Hospital 258
7.6 Kurvendiskussion 264
7.6.1 Definitionen 264
7.6.2 Bestimmung von Nullstellen 266
7.6.3 Bestimmung von Extrema 269
7.6.4 Bestimmung von Wendepunkten und Sattelpunkten 271
8 Differenziation und Integration von Funktionen mehrerer Variablen 273
8.1 Differenziation 273
8.1.1 Die partielle Ableitung 273
8.1.2 Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz 277
8.1.3 Existenz einer Tangentialebene 280
8.1.4 Das totale Differenzial 281
8.1.5 Die Kettenregel 284
8.1.6 Differenziation impliziter Funktionen 287
8.1.7 Partielle Ableitungen in der Thermodynamik 290
8.2 Einfache Integrale 293
8.3 Bereichsintegrale 297
8.3.1 Definition des zweidimensionalen Bereichsintegrals 297
8.3.2 Berechnung des zweidimensionalen Bereichsintegrals 300
8.3.3 Allgemeine Bereichsintegrale 304
8.3.4 Transformationsformel 305
8.3.5 Berechnung von Volumina und Oberflächen 312
8.4 Kurvenintegrale 321
8.4.1 Definition und Berechnung 321
8.4.2 Wegunabhängigkeit des allgemeinen Kurvenintegrals 326
8.4.3 Vollständiges und unvollständiges Differenzial 330
8.4.4 Satz von Gauß im R2 332
8.5 Oberflächenintegrale 335
8.6 Die Taylor-Formel 339
8.7 Extremwerte 342
8.7.1 Definitionen 342
8.7.2 Bestimmung von Extremwerten und Sattelpunkten 344
8.7.3 Bestimmung von Extremwerten unter Nebenbedingungen 347
9 Vektoranalysis und Tensorrechnung 355
9.1 Vektoranalysis 355
9.1.1 Vektor- und Skalarfelder 355
9.1.2 Der Gradient 357
9.1.3 Konservative Vektorfelder 360
9.1.4 Die Divergenz und der Satz von Gauß im R3 362
9.1.5 Die Rotation und der Satz von Stokes 366
9.1.6 Rechenregeln 369
9.1.7 Krummlinige Koordinaten 371
9.2 Tensorrechnung 376
9.2.1 Tensoren zweiter Stufe 376
9.2.2 Tensoren höherer Stufe 380
10 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation 383
10.1 Fourier-Reihen 383
10.1.1 Reelle Fourier-Reihen 383
10.1.2 Komplexe Fourier-Reihen 390
10.1.3 Fourier-Reihe einer Funktion in mehreren Variablen 392
10.2 Fourier-Transformation 395
10.2.1 Definitionen 395
10.2.2 Beispiele 400
10.2.3 Eigenschaften 404
10.2.4 Anwendungen in der Chemie 414
10.3 Orthonormalsysteme 421
11 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 427
11.1 Beispiele und Definitionen 427
11.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung 434
11.2.1 Richtungsfeld, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 434
11.2.2 Trennung der Variablen 437
11.2.3 Lineare Differenzialgleichungen 439
11.2.4 Systeme homogener linearer Differenzialgleichungen 443
11.2.5 Systeme inhomogener linearer Differenzialgleichungen 453
11.2.6 Exakte Differenzialgleichungen 455
11.3 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung 461
11.3.1 Allgemeines über die Existenz von Lösungen 461
11.3.2 Die ungedämpfte freie Schwingung 465
11.3.3 Die gedämpfte freie Schwingung 471
11.3.4 Die erzwungene Schwingung 473
11.3.5 Systeme von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 477
11.4 Spezielle lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 483
11.4.1 Potenzreihenansatz 483
11.4.2 Die Legendre-Differenzialgleichung 486
11.4.3 Die Laguerre-Differenzialgleichung 492
11.4.4 Die Bessel-Differenzialgleichung 496
12 Partielle Differenzialgleichungen 501
12.1 Definition und Beispiele 501
12.2 Die Potenzialgleichung 505
12.2.1 Lösung durch Fourier-Transformation 505
12.2.2 Lösung durch Fourier-Reihenansatz 506
12.2.3 Lösung in Polarkoordinaten 509
12.3 Die Wärmeleitungsgleichung 511
12.3.1 Lösung durch Fourier-Transformation 511
12.3.2 Lösung durch Separationsansatz 513
12.4 Die Wellengleichung 516
12.4.1 Lösung durch Separationsansatz 516
12.4.2 Allgemeine Lösungsformel 519
12.4.3 Die schwingende Membran 521
12.5 Die Schrödinger-Gleichung 526
12.5.1 Die stationäre Gleichung 526
12.5.2 Der harmonische Oszillator 527
12.5.3 Das Wasserstoffatom 531
13 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik 541
13.1 Einführung 541
13.1.1 Quantenmechanische Begriffe 541
13.1.2 Axiomatik der Quantenmechanik 545
13.2 Hilbert-Räume 548
13.2.1 Sobolev-Räume 548
13.2.2 Vollständige Orthonormalsysteme 554
13.2.3 Lineare Operatoren 558
13.2.4 Dualräume und Dirac-Notation 559
13.3 Beschränkte lineare Operatoren 563
13.3.1 Definition und Beispiele 563
13.3.2 Projektoren 567
13.3.3 Symmetrische Operatoren 569
13.4 Unbeschränkte lineare Operatoren 577
13.4.1 Selbstadjungierte Operatoren 577
13.4.2 Die Heisenberg'sche Unschärferelation 582
13.4.3 Spektraldarstellung selbstadjungierter Operatoren 584
13.5 Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme 593
14 Wahrscheinlichkeitsrechnung 597
14.1 Einleitung 597
14.1.1 Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung 597
14.1.2 Der Ereignisraum 599
14.1.3 Zufallsgrößen 600
14.2 Diskrete Zufallsgrößen 602
14.2.1 Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit 602
14.2.2 Summe von Ereignissen 604
14.2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 606
14.2.4 Produkt von Ereignissen 609
14.2.5 Totale Wahrscheinlichkeit 610
14.3 Kontinuierliche Zufallsgrößen 612
14.3.1 Wahrscheinlichkeitsdichte 612
14.3.2 Verteilungsfunktion 615
14.4 Kette von unabhängigen Versuchen 620
14.4.1 Herleitung der exakten Gleichungen 620
14.4.2 Diskussion der Funktion Pn(m) 623
14.4.3 Näherungsgesetze für große n 624
14.4.4 Markow'sche Ketten 629
14.5 Stochastische Prozesse 636
14.5.1 Definitionen 636
14.5.2 Der Poisson-Prozess 637
15 Fehler- und Ausgleichsrechnung 641
15.1 Zufällige und systematische Fehler 641
15.2 Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen 642
15.2.1 Verteilung der Messwerte und Mittelwert 642
15.2.2 Mittlerer Fehler der Einzelmessungen 644
15.2.3 Wahrscheinlicher Fehler der Einzelmessung 645
15.2.4 Praktische Durchführung der Rechnungen 646
15.3 Fehlerfortpflanzung 648
15.3.1 Maximaler Fehler 648
15.3.2 Fortpflanzung des mittleren Fehlers 650
15.3.3 Mittlerer Fehler des Mittelwertes 653
16 Numerische Methoden 655
16.1 Lineare Gleichungssysteme 655
16.1.1 Gauß-Algorithmus 655
16.1.2 Thomas-Algorithmus 659
16.1.3 Iterative Lösungsmethoden 661
16.1.4 Ausgleichsrechnung 664
16.2 Nichtlineare Gleichungen 668
16.2.1 Newton-Verfahren im Eindimensionalen 668
16.2.2 Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen 669
16.3 Eigenwertprobleme 672
16.3.1 Potenzmethode 672
16.3.2 QR-Verfahren 675
16.4 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 678
16.4.1 Euler-Verfahren 678
16.4.2 Runge-Kutta-Verfahren 681
16.4.3 Steife Differenzialgleichungen 684
16.5 Softwarepakete 687
Antworten und Lösungen 689
Literaturverzeichnis 723
Weiterführende Literatur 725
Stichwortverzeichnis 729

"Dieses Buch ist sehr gut gelungen. Es behandelt nahezu alle relevanten Bereiche der Mathematik, die für das Verständnis in der Behandlung von physikalischen und chemischen Werkstoffen erforderlich sind. Die Didaktik ist exzellent . .. Dieses Buch ist sehr empfehlenswert und bereichert nahezu jede Vorlesung mit mathematischen Inhalten."

Prof. Dr. Jörg Melcher Ostfalia Hochschule für angew. Wissenschaften und TU Clausthal (11/2013)