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Messung und Maßeinheiten

1.1 Die Einheitenvorsätze Mikro (μ), Nano, Piko, … finden Sie in Tab. 1.2.

(a) Da 1 km = 1 · 103 m und 1 m = 1 · 106 μm sind, gilt

Der gegebene Messwert ist 1,0 km (zwei signifikante Stellen), woraus folgt, dass unser Ergebnis als 1,0 · 109 μm geschrieben werden sollte.

(b) Wir berechnen die Anzahl der Mikrometer in 1 Zentimeter. Da 1 cm = 10−2 m sind, gilt

Wir schließen, dass der Bruchteil eines Zentimeters, der 1,0 μm entspricht, 1,0 · 10−4 ist.

(c) Da 1 yd = (3 ft) (0,3048 m/ft) = 0,9144 m ist, gilt

1.2 Der Kunde erwartet ein Volumen V1 = 20 · 7056 in3, erhält aber nur ein Volumen V2 = 20 · 5826 in3. Der Unterschied beträgt also

1.3 STARTPUNKT Diese Aufgabe befasst sich mit der Umrechnung alter Längeneinheiten wie Furlong, Rod und

Chain.

ANSATZ Wegen 1 Furlong = 201,168 m, 1 Rod = 5,0292 m und 1 Chain = 20,117 m sind die benötigten Umrechnungsfaktoren

sowie

Die unerwünschte Einheit Meter kürzt sich wie geplant heraus.

RECHNUNG Mit diesen Umrechnungsfaktoren erhalten wir

(a) für den Abstand d in Rod

(b) und in Chain

AUFGEPASST Da 4 Furlong etwa 800 m entsprechen und 1 Rod ungefähr 5 m lang ist, ist unser Ergebnis von ca. 160 Rod plausibel. Dasselbe gilt für das Resultat von 40 Chain (1 Chain ≈ 20 m).

1.4 (a) Mit der Beziehung 12 Punkt = 1 Pica folgt

(b) Mit den Umrechnungsfaktoren 1 Inch = 2,54 cm und 6 Pica = 1 Inch erhalten wir

1.5 STARTPUNKT Gegeben ist der Radius der Erde; wir sollen daraus ihren Umfang, ihre Oberfläche und ihr Volumen berechnen.

ANSATZ Wir gehen von einer Kugelform der Erde aus; ihr Radius beträgt

Entsprechend betragen ihr Umfang, ihre Oberfläche und ihr Volumen

Diese geometrischen Formeln finden Sie in Anhang D.

RECHNUNG

(a) Mit den angegebenen Formeln erhalten wir für den Umfang

(b) Entsprechend ist die Oberfläche

(c) Das Volumen beträgt

AUFGEPASST Aus den angegebenen Formeln sehen wir, dass U ∝ RE, A ∝ und V ∝ ist. Für das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche bzw. Oberfläche zu Umfang gilt V/A = RE/3 und A/U = 2RE.

1.6 (a) Wir verwenden die Tatsache, dass die Fläche A eines Rechtecks sich aus (Länge) · (Breite) berechnet und bestimmen zunächst die Gesamtfläche

Dies multiplizieren wir mit dem Umrechnungsfaktor von Perch2 zu Rood (1 Rood/40 Perch2) und erhalten als Antwort Agesamt = 14,5 Rood.

(b) Nun wandeln wir unser Zwischenergebnis aus (a) um:

Dieses Resultat wandeln wir mithilfe der Beziehungen aus Anhang D von Fuß in Meter um:

1.7 Das Volumen des Eises ist das Produkt der Fläche A des Halbkreises und der Dicke des Halbkreises. Die Fläche A ist die halbe Fläche eines Kreises mit Radius R, also A = πR2/2. Wenn wir mit D die Dicke des Eises bezeichnen, beträgt sein Volumen V also

Nun drücken wir alle Größen in der Einheit cm aus:

und

Wir erhalten also

1.8 Das Gesamtvolumen V des realen Hauses ist das eines Dreiecksprismas (der Höhe h = 3,0 m und der Grundfläche A = 20 m · 12 m = 240 m2) plus dem eines Quaders (der Höhe h′ = 6,0 m und derselben Grundfläche), also

(a) In dem Puppenhaus ist jede Dimension um den Faktor 1/12 verkleinert, folglich gilt

(b) In diesem Fall ist jede Dimension um den Faktor 1/144 verkleinert (gegenüber dem realen Haus), daher ist nun

1.9 Wir verwenden die in Anhang D gefundenen Umrechnungsfaktoren.

Da 2 in = (1/6) ft sind, beträgt das Volumen des Wassers, das während des Gewitters fiel,

Also haben wir

1.10 Die Einheitenvorsätze Mikro (μ), Nano, Piko, … finden Sie in Tab. 1.2. Das Einheitenzeichen „a“ steht für ein Jahr (lateinisch annus), „d“ für Tag (lateinisch dies, englisch day).

(a)

(b) Die prozentuale Abweichung ist folglich

1.11 Wir verwenden die in Anhang D gefundenen Umrechnungsfaktoren und die Definitionen der SI-Einheitenvorsätze aus Tab. 1.2. Dabei steht „ns“ für die Einheit Nanosekunden, „ps“ für die Einheit Pikosekunden usw.

(a) 1 m = 3,281 ft und 1 s = 109 ns. Also haben wir

(b) Verwenden wir 1 m = 103 mm und 1 s = 1012 ps, so erhalten wir

1.12 Ein Jahr enthält 3,156 · 107 Sekunden, was einerseits in Anhang D angegeben ist, sich andererseits aber auch einfach aus

berechnen lässt.

(a) Eine Sekunde enthält 108 Shakes, also tatsächlich mehr, als ein Jahr Sekunden hat.

(b) Wenn wir das Alter des Universums als 1 U-Tag (oder 86 400 U-Sekunden) bezeichnen, dann gilt für die Zeitspanne seit der Entstehung des Menschen

1.13 STARTPUNKT In dieser Aufgabe sollen wir fünf Uhren im Hinblick auf ihre Eignung als Zeitmesser beurteilen.

ANSATZ Keine der Uhren läuft innerhalb von 24 h exakt 24 h weiter, aber das ist nicht das wichtigste Kriterium, um ihre Eignung für die Messung von Zeitintervallen zu beurteilen. Wichtiger ist, dass die Uhr in jedem 24-h-Intervall um (nahezu) denselben Betrag weiterläuft. Die abgelesene Zeit kann dann leicht angepasst werden, um das korrekte Intervall zu erhalten.

RECHNUNG Die folgende Tabelle gibt die Korrekturen (in Sekunden) an, die für jede Uhr in jedem 24-h-Intervall auf die angezeigte Zeit angewandt werden müssen. Die Einträge wurden ermittelt, indem die am Ende des Intervalls angezeigte Zeit von der zum Beginn subtrahiert wurde.

Die Uhren C und D sind beide gute Zeitmesser in dem Sinn, dass jede bei ihrer täglichen Abweichung (bezüglich der Referenz-Zeitanzeige) konsistent ist; also können C und D leicht mit einfachen und vorhersagbaren Korrekturen „perfekt“ gemacht werden. Die Korrektur für Uhr C ist kleiner als die für Uhr D, daher bewerten wir Uhr C als beste und Uhr D als zweitbeste.

Die Korrektur, die auf Uhr A angewandt werden muss, liegt im Bereich von 15 bis 17 s. Für Uhr B liegt sie im Bereich von –5 bis +10 s, für Uhr E im Bereich von –70 bis –2 s. Nach C und D besitzt A den kleinsten Korrekturbereich, B den zweitkleinsten und E den größten. Von der besten zur schlechtesten Uhr lautet die Reihenfolge C, D, A, B, E.

AUFGEPASST Bei den Uhren A, B und E variieren die Abweichungen in verschiedenen 24-h-Intervallen völlig unsystematisch, was eine Korrektur schwierig macht.

1.14 Die auf einer beliebigen der Uhren angezeigte Zeit ist eine lineare Funktion der auf den anderen Uhren angezeigten Zeiten, wobei die Steigungen dieser Geraden ≠ 1 und ihre y-Achsenabschnitte ≠ 0 sind. Aus den in der Abbildung gezeigten Daten entnehmen wir

Mit diesen Beziehungen können wir die Fragen beantworten.

(a) Für − tA = 600 s gilt

(b) Wir erhalten

(c) Wenn Uhr A tA = 400 s anzeigt, zeigt Uhr B tB = (33/40) (400) − (662/5) ≈ 198 s.

(d) Mit tC = 15 = (2/7)tB + (594/7) erhalten wir tB ≈ −245 s.

1.15 STARTPUNKT Für diese Aufgabe müssen wir die Lichtgeschwindigkeit in astronomischen Einheiten pro Minute ausdrücken.

ANSATZ Zuerst rechnen wir Meter in astronomische Einheiten und Sekunden in Minuten um. Dabei benutzen wir

RECHNUNG Mit den angegebenen Beziehungen erhalten wir

AUFGEPASST Wenn wir die Lichtgeschwindigkeit wie hier in AE/min ausdrücken, sehen wir sofort, dass das Licht etwa 8,3 (= 1/0,12) Minuten braucht, um von der Sonne zur Erde zu gelangen, d. h. eine Entfernung von 1 AE zurückzulegen.

1.16 Da eine Änderung des Längengrads um 360° einer Zeitverschiebung um 24 Stunden entspricht, muss man seine Uhr erst dann um 1,0 h verstellen, wenn man seine geografische Länge um 360°/24 h = 15° verändert hat.

1.17 Der letzte Tag der 20 Jahrhunderte ist um folgenden Wert länger als der erste Tag:

Der durchschnittliche Tag während der 20 Jahrhunderte ist (0 + 0,02)/2 = 0,01 s länger als der erste...